J正交矩阵的一些性质.pdfVIP

第 30卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．30，NQ．1 2014年 2月 COLLEGEMATHEMATICS Feb．2O14 J正交矩阵的一些性质 袁志杰 (合肥工业大学 数学学院，合肥 230009) [摘 要]给出了J正交矩阵的一些性质． [关键词]J正交矩阵；F范数；特征根 [中图分类号]0241,6 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2014)01—0074—04 1 引 言 称对角元为 +1或一 1的 阶对角矩阵为符号矩阵，记为J． 定义 若存在 阶符号矩阵J ，使得 Q 一J，则称 ”阶矩阵Q为J正交矩阵，或称为超正规 矩阵． 当I，是单位矩阵，即J=I时，J正交矩阵就是正交矩阵，故正交矩阵是J正交矩阵的退化形式 ，后者 的性质比前者显然要复杂 ，本文讨论 了实J正交矩阵的若干性质．为了以后叙述方便 ，我们假定 J≠J， 广 一 1 且J的对角元为一1的个数为r，一般地，可令r≤1詈1． 2 主要结论 关于J正交矩阵，下列性质是显然的： 性质 1 若Q为 J正交矩阵，则 ．，Q，QJ，．，QJ也是 J正交矩阵． 性质 2 若 Q为J正交矩阵，则Q非奇异 ，且 Q1一JQ J． 性质3若Q为J正交矩阵，则Q及分块矩阵(QQ)及(Q)也是J正交矩阵． 性质4 若Q为J正交矩阵，则 jdetQI一1． 性质5 若 Q为J正交矩阵，则 Q～，Q 也是 J正交矩阵． 性质 1与性质 2只需注意到J 一I即可得，性质 3首先证 明Q 也是J正交矩阵，顺便纠正文献[1] 的笔误 (P149一P150)．在 Q 一J的两边同时右乘JQ得 QJQ (JQ)一J(JQ)， 即 QJ(Q JQ)一Q． 在该式两边同时左乘J-1Q_。，可得Q Q：J 一J，即Q 也是J正交矩阵．至于后面的分块矩阵，根据 定义可证也是 J正交矩阵(不 同的是符号矩 阵)．对 QJQ 一J两边同取行列式便得性质 4．根据性质 2 和性质 3，Q 是 J正交矩阵；而 Q J(Q”) 一Q ( Q )(Q ) =Q J(Q ) = … 一QJQ 一J， 故Q”也是J正交矩阵． [收稿 日期]2012—05—08 第 1期 袁志杰：J正交矩阵的一些性质 75 下面的定理给出了J正交矩 阵的F范数 的估计 ，即定理 1． 定理 1 设Q是J正交矩阵，则 lIQllF≥ ，且等号成立的充要条件是Q是正交矩阵． 证不妨设J—I--lrI]，相应地Q一[呈QQ1，]，QJQ一t，可得 QrQ 一Jr+QQ}、， ( Q【 QT 1) ，r ， 一 J，r+QQ ， 故 ‘ tr(Q，Q )十tr(Q Q，Tr)一n+tr(QQ )+tr(QzQ )， 从而 tr( )一 +2tr(QQ}_)+2tr(Q2Q )≥ ． 显然等号成立时，有 tr(Q Q )：==0及 tr(Q Q )一 0，即Q 一O，Q 一O，从而 一 Q(rQr~Q ]=J， Q是正交矩阵；反之显然． 推论 1 设 Q是对称 的J正交矩阵，则有