L′Hospital法则和Stolz定理的推广与应用.pdfVIP

维普资讯 第 l5卷 第 2期 广州大学学报 (综合版) Ⅷ ．15 No．2 2001年 2月 JOURNALOFGUA_NGZHOUUNIVERb3~ Feb． 2001 文章编号：1008-9861．(20O1)02-0018-04 LHospital法则和 Stolz定理的推广与应用 袁文俊，阴晓玲 (广州大学 理学院，广东 广州 510405) 摘 要：推广了数学分析中事极限的 【，}k 岳则和Stolz定理，将其系统化为一种有效的方法，使许多常见的 经典之倒得到巧解和扩充 关键词 ：【，Hospital法则；Stolz定理 ；极限；函数 中图分类号：O174．5 文献标识码：A 数学分析是一门重要的数学专业基础课程，极 等等 则觋 限理论是数学分析的基础．如何快速正确地求解 一 n 定理 3 设函数 r()和 g()在 ∈(Ⅱ，+ 三型和昔型极限是掌握极限理论的关键，LHospi 一 U )上满足：(1) tim g()=+ (或 一 )；(2) tal法则和 Stolz定理是求解这两种类型极限的有 l厂()，g()可导，g()≠o；(3) =!， 效方法．然而在普通教科书上，一般都不介绍 Stolz 定理，从而使许多经典数列极限的求解变得比较困 则 lim 上 ： ． gL 难ll一31．李俊杰在文献[4]中推广TStolz定理，孙 证明 由定理 的条件 (2)和 Darboux定理L 本旺等在文献[6]中得到较一般的结果．在此基础 易知，g()在(。， )内不变号．当 l g()： 上并经过多年探索，我们得到更广泛的结论，推广 +*时，可得 g()0，∈(Ⅱ， )．下面我们验 了求极限的 LHospital法则和 Stolz定理，将其系 证条件 (取 T=1)． 统化为一种有效的方法，使许多常见的经典之倒 利用 Litgl~ge公式和定理的条件 (2)立刻得 得到巧解和扩充． 知定理 2的条件 (1)成立．仍 由定理的条件 (2) 为叙述方便，本文中我们作如下约定： 为 可知厂()在 (。，*)上连续．于是，结合假定的 正实数，n、b为实数，z为有限数或 + 或一 ． 条件，可知定理 2的条件 (2)成立 由Cauchy公 1詈型的相关结果及应用 式和定理的条件 (3)便可推知定理 2的条件 (3) 成立．因此，据定理2即知 ，此时定理 3成立． 完全类似地，我们可验证：当 llm g()=一 定理 1(Stolz定理) 设数列 { j和 { I满 *时，定理 3仍然成立．证毕． 足：(1) +l ，(n=1，2，…)； (2)lira =