一类延迟更新风险模型的破产概率.pdfVIP

维普资讯 第22卷第 1期 经 济 数 学 V01．22 N0．1 2005年 3月 MATHEMATICSIN ECON0MICS Mar．2005 一 类延迟更新风险模型的破产概率 王 伟 刘再明 (中南大学数学科学与计算技术学院，长沙，410075) 摘 要 本文考虑了一类特殊的延迟更新尽险模型——发生第一次索赔的时间服从指数分布的延迟更新风 险模型．在这样的奈件下。利用Gerber—Shiu贴现罚函数推导出了保险公司的破产概率． 关键词 延迟更新风险模型，指数分布，Gerber—Shiu贴现罚函数。破产概率 背景介绍及模型描述 风险理论方面的研究一直是数学界和保险界关注的热点问题，而其核心问题就是关于破 产概率的研究．自2O世纪以来，这方面的研究已经有了长足的发展，新的模型和方法层出不 穷．在Grandell的书中，对于经典风险模型、更新风险模型(普通更新风险模型、平稳更新风险 模型)、Cox风险模型进行了详细的探讨，主要用到了更新方法、鞅方法等一些技巧．而本文则 利用Gerber—Shiu贴现罚函数得到了一类特殊的更新风险模型的破产概率的表达式． 本文研究的更新风险模型为第一次索赔的时间间隔服从指数分布的延迟更新风险模型， 它可以看作是经典风险模型(复合Poisson模型)的一个直接推广． 模型的描述如下： t U 一 “+ct一 Z ， t≥0 (1．1) 其中 ，表示保险公司在t时刻的盈余，≥0为保险公司的初始资本，c为保费收入率，是一个 常数．{N，；f≥0}表示到时刻t发生索赔的次数，即N，一sup{：S+S+…+5，≤t，t≥0}， 其中5表示初始时刻到发生第一次索赔的时间间隔，{S，；i≥2}表示第i一1次索赔和i次索 赔的时间间隔，并且 {S，；i≥1}是相互独立的随机变量序列，{S；i≥2}有相同的分布．{X；i ≥1}为相互独立的随机变量序列，且与{S，；≥1}独立． 我们用正(f)表示 的概率密度函数(p．d．f)，K (f)表示其分布函数(d．f)．在本文中假设 点(f)= 一，口0．{S；≥2}的d．f为K(f)一Pr(≤f)一1一K(f)，，其P．d．f为点(f)． 并且假设E(S)：IK(f)dr。。．{Z；≥1}的d．f为F(2)一Pr(z≤2)一1一F(z)，且E(z) 一 () C×3．另外，为了保证保险公司安全运营，假设 一 一10． * 国家自然科学基金资助项目(No．1037l133) 收稿 日期：2003—12～23． 维普资讯 一 14一 经 济 数 学 第22卷 2． 破产概率的推导 l997年，Gerber和Shiu引入了Gerber—Shiu贴现罚函数Ⅲ．用Tl—inf{r：乙，O)表示破 产时刻，其中如果对于所有t，都有U，o，则T一。。．最终破产概率为 (f)一Pr(丁。。)一E {，7(’。。)}，其中，()为示性函数，即，()一{：蓑生．如果破产发生，用U-C表示破 产前的瞬时盈余，1r1表示破产赤字，则相应的Gerber—Shiu贴现罚函数为 m 1， d(“)一E{e一W(7．‘，f7，，f)(71l 。。)fUo一 “} (2．1) 其中，≥0为贴现因子，W( ，,27)为与 有关的非负函数，,27O，,27O． 对于普通更新风险模型，有k(f)一点(f)，因此，(2．1)变为 a(“)一E{P～W(r，l71)(7。。)lUo一 “}