向量优化问题解的存在性.pdfVIP

2006年 1O月 绵阳师范学院学报 Oct．，2006 第25卷 第5期 JourmdofMianyangNormalUni VoI．25 No．5 向量优化问题解的存在性 赵清俊 (重庆师范大学数学与计算机科学院，重庆 400047) 摘 要：文中定义了广义有效解，并利用集值映射向量似变分不等式证明了不可微向量优化问题的广义有效 解的存在性。 关键词：广义有效解；KKM—Fan定理；向量似变分不等式 中圉分类号：0151．24；0183．1 文献标识码 ：A 文章编号：1672-612x(2006)05-0016-03 Minf(x)= (戈)，… x)) (P) 1 引言 豇 t． E 其中，是R 中的一个闭凸集 ：R‘ R，i=1， 称实值函数f：R R是局部 Lipschitz的，如果 …P。是实值函数． 对任意u∈R ，存在 Ⅱ的一个邻域Ⅳ(u)和一个正常 在本文中，{C()I∈X}表示 中的凸锥簇， 数k使得对任意 ，Y∈Ⅳ(Ⅱ)， 使得对任意 ∈X，intC()≠(2j，C()≠ ，R cC If戈)-f(Y)I≤J}l1—Yl1 ()． 局部Lipschitz函数 在 Ⅱ点沿方向d的Clarke 下面对问题 (P)定义一个广义有效解：如果不 [i]广义方向导数，用f。(u；d)表示： 存在 ∈X使得 )一 Ⅱ)∈一intC(Ⅱ)，则称 Ⅱ∈X 。(u；d)=limsupt (Y+td)-fY))． 为问题 (P)的广义有效解． 局部Lipschitz函数 在 Ⅱ的Clarke[1]广义梯 首先，我们确定向量优化问题(P)与下面的向 度，可表示为： 量似变分不等式问题( 一 )的关系． ^(u)={∈R 。(12,；d)≥(，d)Vd∈R}，这 求 ∈X使得对任意Y∈X，存在 E‘of (‘)， 里(…)表示在R 上的内积． l，…，P，使得 定义 1．1 设f：R--~R是一个局部Lipschitz函 (((Y，)。， (Y，))，…，( (Y，) ，(Y， 数，则称 为关于 的 不变凸函数，如果存在函数 ))) 一intC()． XRu_R 和a：R“XR R+使得对任意 ，Y∈ 定义2．1 设 ，y是拓扑向量空间： ： 2’ R 】任意孝∈of(Y)，确 ‘ )-f(Y)≥((，Y)孝， 是集值映射．称 的图像是闭的，如果 的图像Gr (，Y))． (W)：={(z