排列组合问题的基本解法.pdfVIP

维普资讯 6 中等 数 学 排 列 组 合 问 题 的基 本 解 法 张伟 新 (江苏省梁丰高级中学，215600) (本讲适合高中) 解：如图 1，青蛙 F E 排列组合问题的解决主要依据分类计数 不能经过跳1次、2次 原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不 或4次到达点D．故青 A D 多；但由于题目灵活多样，因此，其解题方法也 蛙的跳法只有下列两 多种多样．本文介绍此类问题的基本解法． 种情况： ’ B C (1)青蛙跳3次到 图1 1 列举法 达 点 D，有 ABCD、 例1从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个 AFED两种跳法． 数中取出3个数，使其和为不小于 1O的偶 (2)青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次 数．不同的取法有— — ． 的跳法一定不到达D，只能到达B或F，则共 (1998，全国高中数学联赛) 有AFEF、AFAF、ABAF、ABCB、ABAB、AFAB这 解：从1O个数中取出3个数，使其和为 6种跳法．随后的2次跳法各有4种，比如，由 偶数，则这3个数都为偶数或1个偶数2个 F出发的有FEF、FED、FAF、FAB共4种．因 奇数． 此，这5次跳共有6×4=24种不同跳法． 当3个数都为偶数时，有 种取法； 所以，一共有2+24=26种不同跳法． 当有1个偶数2个奇数时，有 暖种取 2 分类讨论 法．因为其和为不小于 1O的偶数，我们把和 为小于1O的偶数列举出来，有如下9种不同 在排列组合问题中，利用分类讨论来解 取法： 决问题最为常见．如何分类、分几类就成为解 (O，1，3)，(O，1，5)，(O，1，7)， 题的关键． (O，3，5)，(O，2，4)，(0，2，6)， 例3从给定的6种不同颜色中选用若 (1，2，3)，(1，2，5)，(1，3，4)． 干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每面 因此，符合题设要求的取法有 恰染1种颜色，每2个具有公共棱的面染成 + 一9=51(种)． 不同的颜色．则不同的染色方案共有— — 种(注：如果我们对2个相同的正方体染色 例2 设ABCDEF为正六边形，一只青 蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相 后，可以通过适当的翻转，使得2个正方体的 上、下、左、右、前、后6个对应面的染色都相 邻两顶点之一．若在5次之内跳到点D，则停 同，那么，我们就说这2个正方体的染色方案 止跳动；若5次之内不能到达点D，则跳完5 相同)． 次也停止跳动．那么，这只青蛙从开始到停 (1996，全国高中数学联赛) 止，可能出现的不同跳法共— — 种．