探索“用向量方法求点到直线的距离”的思维过程.pdfVIP

维普资讯 6—16 数学教学 2007年第6期 探索 “用向量方法求点到直线的距离的思维过程 200092上海市杨浦高级中学 章明凯 传统的求点尸到直线f的距离的方法是： 1． 先由点尸和直线f的垂线f的斜率求垂线方 程；解由直线f及垂线f的方程组成的方程组，求 ’| 出直线上的垂足Q的坐标；再利用两点距离公 。 式，求得点尸、Q的距离，即为点尸到直线f的距 离．与传统的代数方法相比较，运用向量知识推 P 2、 导点到直线的距离能充分利用直线的法向量，结 图 1 合向量的夹角与数量积，不仅思维过程简单，运 师：此方案确实不错，不过要求得点Q步骤 算环节简化、完整，计算容易，整个过程中充分 不少．(停顿)是否还有其它的办法呢? 渗透了向量思想，也体现出向量工具的优越性． 师(启发)：如果Q是直线f上任意一点，那么 本课设计中体现上海二期课改的向量思想， 尸Q 与尸Q有什么关系呢? 并将向量思想贯穿于整堂课中，只有这样才能使 生1：PQ是尸Q在f的垂线上的投影． 学生真正体验到向量作为一种数学工具的优越 性，才能提高学生向量的应用意识，学生的向量 生2：IPQI=IPQICOSQ尸Q． 思想、优良的思维品质才能逐步形成． 师：直线f上有哪些点作为Q 比较容易得到 本文旨在探索用向量方法求 点“到直线的距 呢? 离”的思维过程． 学生：直线 f与坐标轴的交点M(O，3)、 一 、 复--j- Ⅳ (． (1)乏‘I育IIIc。s 师：这样很好，可以容易地求出线段PM 的 = I-y．I·(b在 上的投影) 长度，那么线段尸M与线段PQ的长度有何关系 = lbl·(在b上的投影)； 呢? (2)点P(xo，Yo)在直线 生：则有I尸QI=I尸MI·cosZMPQ；M是f f：ax+6+c=0上铮 axo+byo+c=O； 上一点，故尸 已知． (3)点P(xo，Yo)不在直线 师：你能求出角COS／MPQ的值吗? Z：ax+by+c=0上 4 -axo+byo+c≠0． 生：M尸Q是向量 与 的夹角，而向 (3)点到直线的距离： 量痢 已知， 是直线的法向量． 过直线外一点尸作直线f的垂线，Q为垂足， 师：M尸Q一定是 与 的夹角吗? 那么线段尸Q的长度称为点尸到直线f的距离． 引【例】已知点P(-2，-3)，直线f：2x+y- I { 3=0，求点P]iU直线f的距离． 学生：过尸作Z的垂线，垂足为Q，求出点Q