基于泰勒级数展开的一点超前差分公式的推导.pdfVIP

第 30卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．3O，№．1 2014年 2月 COLLEGEMATHEM ATICS Feb．2014 基于泰勒级数展开的一点超前差分公式的推导 张雨浓 ， 邓健豪 ， 刘锦荣 ， 仇 尧 ， 金 龙 (I．中山大学信息科学与技术学院，广东广州 510006； 2．中山大学 软件学院，广东 广州 510006) [摘 要]传统的数值微分公式有前向差分、后向差分和中心差分公式．所谓一点超前差分公式 ，就是后 向差分公式在形式上 “前移”一点来计算一阶导数的公式．该公式有效地弥补了传统差分公式的不足之处． 不同于以前研究中使用拉格朗El公式来推导一点超前公式的做法，给出了基于泰勒级数展开的对该组公式 及其截断误差的推导 ，从另一个角度验证了一点超前公式，使其更为完善． [关键词]数值差分公式；泰勒级数；一阶导数；一点超前 ；截断误差 [中图分类号]O241．3 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2014)O1—0012—05 l 引 言 数值微分是数值分析中的基本问题，同时也是应用科学中非常有用的一个工具n ]．通过使用邻 近的离散数据点，有限差分法可有效地近似一个 函数在 目标点的导数值[4]．根据 目标点在采样区间中 的位置 ，有限差分公式可以被划分为前向差分、后向差分和中心差分公式．目标点是所用数据点的最左 点即为前向差分 ，最右点为后向差分 ，中间点为 中心差分． 使用多点中心差分公式时，要求 目标点两侧有相 同数量的离散数据点．因此，当 目标点靠近边界 时，单边数据点不足，多点中心差分公式往往不能被应用．当未知函数在 目标点的导数值发生加速变化 时，由于前 (后)向差分公式只应用单边的数据点，可能无法适应该变化，使得近似导数值的误差较大． 为了解决以上问题 ，一点超前差分公式被提出[5]．该公式综合 了三种传统的差分公式 ，在后向差分 公式的形式上 “前移”一点，解决了因单边数据点不足造成的问题，同时适应 了目标点的导数值可能发生 的加速变化[s]．该公式 由拉格朗日插值多项式推导而来．利用采集的等间距数据点，可以构造近似未 知函数的拉格朗 日插值多项式；对该式子求导，即可得到近似的未知函数的一阶数值差分公式__6]，由此 可 以得出求一阶导数的一点超前公式． 不同于文献[5]和1-6-1中利用拉格朗Et插值多项式来推导一阶数值差分公式 的方法 ，本文提出了基 于泰勒级数展开[7的对一点超前差分公式的推导．由给出的未知函数在指定区间上的N+ 1个等间距 点的函数值，即可列出N个关于目标点的1到N阶导数的泰勒级数展开式。将N个式子代入一点超前 差分公式中，即可得出关于 N+1个系数的方程组．求解该方程组即可得到N+1个数据点的一点超前 公式．使用基于泰勒级数展开的推导方法所得到的二至十六个数据点的一点超前公式 以及截断误差与 文献[5]中给出的一致，这使得一点超前公式的理论基础更加完善． 另外，计算机数值实验表明，一点超前公式可以取得较好的一阶导数估计精度L5]．附录中给出了利 用一点超前差分公式来近似 目标点的一阶导数的Matlab程序代码．只要给出N+1个等间距数据点的 函数值及 间距 ，即可求出第 N个点的一阶导数近似值． [收稿 日期]2012—10—22 [基金项 目]国家 自然科学基金；教育部高等学校博士学科点专项科研基金博导类课 (2010017111045)；国 家大学生创新训练项 目(201210558042) 第 1期 张雨浓，等：基于泰勒级数展开的一点超前差分公式的推导 13 2 一点超前差分公式 若 z。，2,7 “，z 为采样区间 [口，6]上 +1个互不相同的等间距数据点，即．27计 一z===h，i一0，1， … ，，z一 1，其 中h为采样间隔常数 ，则未知 目标函数 厂()的一阶导数的一点超前差分公式为_5] ≈ 1奎