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点击柯西不等式的应用.pdf
数学版 中 学 生 理 科 应 试
点击柯西不等式的应用
陕西省西安远东二 中 (710077) 吕佐良
对于任恿两组实数 a ,a2,…,a 和 b1,b2,…,b, = cos0+sin2
+ )≥ (¨ ·
有(a+ai+…+a:)(b+b;+…+b:)≥(ab,+ COS sin
例5 已知 sinA+sin曰+sinC=l,求证:
。:6+..+‘%2当且仅当}=…一 时取 Isin2A +sin2B +sin2C I≤ 2
等号,这就是著名的柯西不等式.对于有些数学问题 , 解析 由已知等式得 COSA+COS日+COSC=
若能根据题 目的结构特征,灵活地运用这个不等式探 2,再由柯西不等式 ,得(sin2A+sin2B+sin2C) =
求思路,不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能避免
4(sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC) ≤4(sinA +
冗繁的运算,优化解题过程,提高解题速度,本文分类
sin曰+sinC)(cos +cos +cosC)=4 ×1×2
例析,以供参考.
= 8,即Isin2A+sin2B+sin2CI≤2√2.当且仅当
一 、 证明不等式
例 1 若 、 ∈R ,且 。卜+ =1,求证: tanA=tanB=tanC:± 时等号成立.
9 ≥ 36
+ + 一 . 例 6 已知A =XCOS ysin0,B =xsin0+
Y z
解析 由柯西不等式 ,得 ycos ,求证: + ≥A +曰.
9 解析 A =(XCOS0+ysin0) =[(XCOSO)cosO
+ + :
——+——+ = (( ++Y++z))((——++——++——))
+ (ysinO)sin0] ≤ (X2COS0+ sin )(COS +
sin0)=X2COS0+ysin ①
: [( )z+( ):+ )][( ):+( ):+
qx , 同理得B ≤ 2sinO+y2COS0 ②
+ ’ ) =36. ① +② 得 + ≥A +B ,当且仅当 =Y时
(吾)]≥(。1+ 。2 吾
4z qx z
4 等号成立.
例2 已知x+告=1,求证: 二、证明等式
例7 若Ⅱ、b∈R,且口,/1一b+b 1一口=
a +b ≥ ( +Y)2.
1,求证 :a +b =1.
解析 n+b=[(三)+(羊)](a2+b)≥ 解析 令 a +b =t,则有
(a·o+÷D·6)=(+),)‘。,当且仅当xa=告b时
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