由自相似集生成强分离图递归集的算法.pdfVIP

第27卷 第4期 工 程 数 学 学 报 Vo1．27No．4 2010年O8月 CHINESEJOURNALOFENGINEERING MATHEMATICS Aug．2010 文章编~：1005—3085(2010)04—0699—05 由自相似集生成强分离图递归集的算法术 邓国泰1， 刘春苔0 (1一华中师范大学数学与统计学学院，武汉 430079；2一武汉工业学院数理科学系，武汉 430023) 摘 要：本文讨论了由自相似集生成图递归集的算法。利用辅助函数迭代系，针对压缩率的为整数的倒数 和数字集为有理数的自相似集，给出了一个新的算法，使得所生成的图递归集满足强分离条件。 关键词：迭代函数系；强分离条件；图递归集 分类号：AMS(2000)28A80 中图分类号：O174 文献标识码：A 1 引言 设JqJ1，{()=q-1(+ ) 1为一族压缩函数系(也称为迭代函数系 (IFS))，则存在 唯一的非空紧集T=T(q，)一称之为IFS{) 1的吸引子或自相似集一满足T=u 1五()， 这里数字集 为f出，d2，… ，dⅣ 。称一个IFS或 自相似集满足开集条件 (OSC)如果存在一个 开集0使得对于任意i有^(0)CO，且对于i≠J有A(o)n，(O)= 。 对于 自相似集 l【-31，如果它不满足开集条件，则计算它的分形维数fHausdorff维数)是很 困难的。当它满足开集条件时其维数是InN／Inq，但是如何判断一个IFS或 自相似集是否 满足开集条件又是另一件非常困难的事情，即使一个IFS满足OSC，也很难寻找到OSC中 的开集 。由文献 4【1的思想，我们针对数字集D为有理数的情形，我们给 出了一个新的计 算T=T(q，)维数的方法，该算法生成的图递归集满足强分离条件。据我们所知，如果没有 有理数的条件，目前还没有一个一般的方法去计算 的维数。 定理1 设DcQ且dimTl，则存在满足强分离条件的图递归集 {】n】，使得 ： T(q，D)。 2 满足强分离条件的图递归集 设 ， 1 、Ⅳ i^(z)言+)j： 是一个以T=T(q，)为吸引子的IFS，其中 = {dl，d2，·一，tiN}，并且q1为整数。因 为可以进行线性变换，所 以可以假定0=d1d2 … d．v!：q一1，则对于任意i， 有^([0，1】)c0【，1】：=r且0，1∈T。 设G ： (E)为一个有向图，这里V= {l，2，… ，Ⅳ)为顶点集， 为有向边 【1。一般 假定每个顶点至少有一个 出边，对任意的e∈E，存在一个压缩率为P∈(0，1)的相似压 缩映射，e： — 。符号G 表示标识了相似映射 的有向图G，也称其为有 向迭代函数 收稿日期：2008-09-22．作者简介：邓国泰 (1976年1月生)，男，博士，讲师．研究方向：分形几何与小波分析 基金项目：国家自然科学基金10926126)． 工 程 数 学 学 报 第27卷 系 (GIFS)，而图G称为G 的基图。令最J：{e∈E：e从顶点i到顶点J)为所有从顶点i到顶 点J的有向边，则存在唯一的一个非空紧集列 } ，使得 称这些集合 }为图递归集，如果这些等式的右边并是不交并，则称该GIFS或者 {}满足强 分离条件 (SSC)。显然当 仅含有一个顶点时，G 就退化为普通的IFS。 记Q ：{1，2，… ，Ⅳ)，Q =u 0Q ，约定Q0Ⅳ：仍。如果 1， ∈Q ，则厶， 定义 为词I1和 的连接。如果 =(il，i2，… ，k)∈Q ，则记 fl；^ o^2o… o^k， dJ=也＆+Adi一1+ ···+ 一d{l， ll lI 约定 =Id为恒等映射。Q ， 也类似定义。