解析几何问题的解题技巧.pdfVIP

维普资讯 6 中 等 数 学 解析几何 问题 的解题技巧 薛 党 鹏 (陕西省西安中学 ，7~0003) (本讲适合 高中) YlY2=Y(Yl+Y2)一2 ． 解析几何的优点在于数形结合而又动态 将 A(o，b)、B(一o，0)分别代入 MM．、 的处理问题 ，其解题思路有很强的程序性，但 MMz的方程 ，得 是，盲 目操作往往会带来烦琐的讨论或繁杂 (Yl—b)Y0= l一2pa和 YoY2=2pa． 的计算 ．本文通过对一些典型赛题的分析 ，介 下面说 明直线 M。 恒过一个定点． 绍解析几何 中一些常见的解题技巧 ． 联立这两式 ，消去 Y。，得 1 回避方程(组)求解 灵活运用方程知识 (Yl—b)2pa=( l一2pa)y2． 整理成 肘。M：的方程的形式 ，得 解析几何 的繁杂运算主要集中在解方 程、求交点等方面 ．如果我们能够充分挖掘几 YlY2= (，，l+Yz)一2pa． 何曲线的代数含义 ，紧扣 目标 ，灵活运用代数 方程的知识 (包括消元思想、整体思想 、函数 故点Q(。，b)满足M。M：的方程． 思想、同解原理以及方程的轮换对称 、韦达定 理、判别式、实根分布等)，回避这些运算 ，往 所以，直线MM·2恒过点Q(。，b)． 往可 以使问题得到简便解决 ． 说 明：此解法借助于轮换对称 ，简化 了 例 1 已知抛物 线 Y =2 及 定 点 him：和 肘。M：方程的求解过程 ． A(口，6)、B(一口，0)(口6≠0，b≠2pa)．M 是 例 2 设一圆和一等轴双曲线交于四点 抛物线上的点，设直线 AM、BM 与抛物线的 A．、A：、A 、A4，其 中A。和A：是圆的直径的 另一交点分别为 、 ．求证 ：当M在抛物 一 对端点．求证 ： 线上变动时 (只要 M。、 存在且 M。≠ )， (1)A 和 A。是双曲线直径的端点； 直线 M。M：恒过一个定点，并求出这个定点 (2)双曲线在 A 和 A4处的切线都垂直 的坐标 ． 于 AlA2． (1998，全国高中数学联赛) (1998，北京市高二数学竞赛) 分析：设肘、(D，，，。。l／，、、／2yDp：，yi。l／( 分析 ：设双曲线和圆的方程分别为 = o和 ，，+2Dx+2gy+F=0，交点坐标为 l，2)．易得直线 him．的方程为 ( ，Yi)，f-1，2，3，4．这两个方程消去 Y得 YoYl=Y(Yo+Y1)一2 ． ‘+2Dx + +2age+o =0 ． ① 同理 ，直线 MM：的方程为 则 施(=1，2，3，4)是方程①的根 ． YoY2 y(y0+Y2)一2 ， 由韦达定理知 ， 直线 M。肘：的方程为 l+ 2+ 3+ 4= 一2D ．