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数学归纳法的逻辑原理及其在图论中的应用 王天成 ≤毒海溪范大学民族溪莲擎貔青海委审810008) 搐要：本文系统地介绍了数学归纳法的逻辑原理、圈论证明中逡甩数学归纳浓的类型问题。使读者对数学归纳法及教学归纳法 农瓣论孛的应用嗣题有一十套藩的认识。 关键词：审越觳擎舞蝻法 一、数学嬲纳法的逻毫艮原理 本文所提本港均觅文靛2】) 数学归纳法是一种证疆与自然数n有关的数学命题的 证瞬：对顶点p归纳证赘，显然，当p=l时。A=O。x(G) 黧要方法。我们首先看—个简单的、人们熟悉的归纳集合， =1，命题成娆。 鄂自然数集N--{0，1，…l。要确定N，可先绘出一个特殊的 假设命题对硬点个数兰pl时成藏。 嚣索0，称为秘始元，它是产生N的基再l|l。然后霉绘密—个 设v是G的任一褒底，由瑟缩法俄浚，x(C．--v)《△，+l， flI自然数产生自然数的运算，即一元后继遮算n’ 其中△。为囊子图G-v中顶点的最大度。显然，△。≤△，故 有x(G—v)《A+l。用A+1种颜P．．对O--v着色。设与、部接的 (蝴+1)。这个运算作用在韧始元。上褥弼I，再作用在I上 褥弱2，把这个过程一壹继续下去，莸蜀黻依次把所有自然 颚点是毪，№，…v矗，焉el，晚，…魄表承疆点vi；，毪，…vl，掰着 数产生出来。这个后继运算n’有—个性质，即当n∈N时， 的颜色。因为k兰A。，敞从A+1种颜色中必然可以找到一 贝Hn’EN。令P是自然数的一个公共性质，并令P(n)是一种颜色c¨(‰，黾，j=l，2，…，k)，对v著颜色ch，。予是命题得 个命题，表承爨然数n鸯後震P。瑗在缎设命题：(1)以0)；诞。 三、圈论中归纳法证明的类型 (2)所有n，如果P(n)，则P(n’)成立，那么可得：(3)则所有 n，P(n)。这就是通常所说的数学归纳法原理，用公式可表 图论中的许多命题的证明，都广泛地运用了数学归纳 法，数学懿纳法在委论率琴失势一静衍之有效麓方法。下 蕊为：P(O)A￥n(nEN杰(p(nH(纛’)))．·￥n(n≤N焱p (n))或者表永为：Vn(n《N^p(m)^(m如))叶P(n)一面举例说明之。 Vn(nEN^p(n))它是数学归纳法(简称归纳证明)的l、对顶点数P归纳证明 基礁。摄据该朦理，我靛霹在有限鳇步骤是，证醒自然数集 壤2若p酚萋G是一攥树，赠G蹩有矿l条边鳇连逶 巾无限的元素都有某性质。邸只要证明上述命题(1)和 匿。 (2)，我们就归纳地证明了命题(3)。或者说，只要断定上述 证明：对顶点P归纳证明，当p=l或2时，命题楚显然成 公式的翦{孛，裁甑定了后锫。 发的。缓设命题对少予p个顶点的所有树均成立。由予树G 二、图论巾常用的归纳证明形式 中两顶点阉道路的唯一链，移去G巾的任何一条迭，均使 因为图论中与自然数有关的命题当no=l或no=2时容其变成有聪个分支G1和G2的分离图。设Gl与G2的边数和 易验证，并虽蠢n=l￡酵如暴结论P(n)援确，曼萼不难推导出 硬点数分别是q，，Pt秘缘，投由归纳法的假设，有镶印广l， n=k+1时结论p(n)也正确。所以在窝论中利蘑数学麴纳法 搿2prl，又pl+炉p 诫明某—命题，我们往往采用第—数学归纳法。 故得 第一数攀归纳法：首先，证明当n驭第一个值(例如 《薹=-ql+q—l=(pl—1)+(挈b·1)+l=蛩l+爹吁一堇=尹卜-10 no=1)爵结论p(n正确；然詹，缓设当n=k(kEN；．Rk≠llo)点评：辫论孛的许多命趣与褒淼有关，其牵一些命蘧 时结论P(n)藏确，证明当n=k+1时结论p(n)也正确。完成的证明我们针对顶点数p进行归