两类数列求通项问题探究.doc

两类数列求通项问题探究 胡雅光 在平常的学习中，我们对很多通过递推关系求通项问题的方法进行了很深入的研究和总结，但还有一些也很常见，但是研究的不多，本文主要研究两类这样的问题。 形如 可以将上式化为： 令即 已知，，求 解：由以上知，故 所以 令，则数列成等比数列，且 故 所以 形如 上式可化为 令可推出 （1） 此时，将两边同时取倒数有 （2） 令，则 （3） 在（1）中，若，方程有两根，这两根都可以用于（2）式 若，方程只有一个根，可用于（2）式 若，方程无根，此法不可用。 在（3）中又有两种情况： ①当时，即，此时为等差数列 ②当时，此时可以化为的形式来构造。 例2.已知，，求 解：此时，带入（1）中有 ，得出或 将带入（2）式中有： 令，则且 所以，故数列成等比数列。 所以即 故 在此例中，有两个解，将带入其中结果会怎样呢，接下来我们也算一下。 ，令 此时，则 故数列成等比数列，且 所以即。 因此用上面的方法，当有两个解的时候，随便带入哪个解都可以，结果一样。若是最后带入之后前面的系数等于1又如何处理呢，也可用此法，只是最后就不是构造等比数列了。 例3.已知，，求 解：将带入（1）中有 得到 所以，故数列成等差数列 所以 故。 根据以上的叙述，通过这种配凑的方法可以解决形如和的通项，这里面也蕴含了之前我们所学过的取倒数，构造等比数列等方法，其实很多数列问题通过递推关系求通项的时候，都可以采取很相似的方法在处理，然后将其配成等差数列或者等比数列，最后就能求出我们所要求的数列了。