行列式习题.ppt

假设阶数小于n时, 结论成立, 以下证明阶数等于n时, 结论成立. 按Dn的最后一行展开, 得 Dn = 2cos? Dn-1 – Dn-2. 由归纳假设, Dn-1 = cos(n–1)?, Dn-2 = cos(n–2)?. 所以 Dn = 2cos? cos(n–1)? – cos(n–2)? = [cos n? + cos(n–2)?] – cos(n–2)? = cos n? 从而, 对任意的自然数n, 结论成力. 评注: 为了将Dn展开成用与Dn同形的行列式Dn–1, Dn–2表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能用第1行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式不是与Dn同形的行列式, 从而无法进行下一步证明. 　　小结: 计算行列式的方法比较灵活, 同一行列式可以有多种计算方法: 有的行列式计算需要几种方法综合应用. 在计算时, 首先要仔细考察行列式在构造上的特点, 利用行列式的性质对它进行变换后, 再考察它是否能用常用的几种方法. 例7: 求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c, 使得 f(1)=0, f(2)=3, f(–3)=28. 解: 由题意得 f(1) = a + b + c = 0, f(2) = 4a + 2b + c = 3, f(–3) = 9a – 3x + c = 28. 这是一个关于三个未知数a, b, c的线性方程组. * * 第一章 习题课 1. 全排列 把n个不同的元素排成一列, 叫做这n个元素的全排列(或排列). n个不同的元素的所有排列的种数用 Pn表示, 且 Pn=n!. 2. 逆序数 　　在一个排列( i1 i2 ··· is ··· it ··· in )中, 若数 isit , 则称这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数． 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 3. 计算排列逆序数的方法 方法1: 分别计算出排在1,2, ···, n 前面比它大的数码的个数并求和, 即先分别算出 1,2, ···, n 这 n 个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数. 方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 4. 对换 定义: 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余元素不动, 这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调, 叫做相邻对换. 定理1: 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 5. n 阶行列式的定义 或 6. n 阶行列式的性质 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 7. 行列式按行(列)展开 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. (1) 8. 克拉默法则 定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表为 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即 定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: