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利用［反客为主］巧解题 樊宏标 数学中的“反客为主”也称更换主元，是指在解题过程中将两个字母的主次互换，使问题达到消元、降次、化归的目的，将复杂问题简单化。用这种方法时必须抓住问题的实质，要求同学们挣脱知识框架的束缚，激活多元思维，搭建解题新平台。现以下面几道题为例进行说明。 例1 若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。 解：对该不等式，一般是将x看成变量，这样就会使问题变得烦琐，但如果将m看成变量，原不等式可整理为关于m的一次不等式，问题转化为一次函数在区间上恒小于零。故问题等价于解不等式组，解之可得。 评注：当方程或不等式中出现参数时，同学们往往以自变量为主元，有时易致使解题思路受阻，解题过程不畅。若将题中已知范围的参数与自变量“主、客转化”，问题就会变得简单。 例2 设，且恒成立，求m的取值范围。 解：将以为主元转换成以m为主元，由条件知。 （1）当时，。 （2）当时，恒成立，只须2m大于的最大值。 而，由知 当且仅当，即θ=0时等号成立。所以，m0。 例3 已知二次函数，若时，总有，试求a的取值范围。 解：当x=0时，恒成立。 当x≠0时，， 即，即，即 令，因为，所以，上述问题转化为时恒有，即当时，。 解之得，因a≠0，故。 评注：上述几例都是利用了“反客为主”的思想，用未知变量将参数表示出来。还利用了恒成立；恒成立等结论，求得参数的取值范围。 快乐学习，尽在中小学教育网 第1页（共2页） ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------正保远程教育 地址：北京市知春路1号学院国际大厦18层 24小时客服热线：010-82310666