利用“均值不等式”求值域.doc

利用“均值不等式”求值域 何成宝 “”是一个重要的基本不等式，可以求函数的值域。在应用该不等式时，务必注意其条件：一是正数条件，即a、b都是正数；二是定值条件，即和是定值或积是定值；三是相等条件，即a＝b时取等号，简称“一正、二定、三相等”。当条件不具备时，需要进行适当的转化，现举例说明。 一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值 例1. 求函数的值域。 因不一定是正值，故需先将其转化为正值。 解：当时， ，当时取等号。 当时， ，当时取等号。 则函数的值域为 例2. 已知，求函数的值域。 解：由题意知， 因此， ，当且仅当时，即时，等号成立。 ∴函数的值域为 二、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件 例3. 已知，求函数的值域。 因的积不是定值，故需先将其构造成定值。 解： ，当且仅当时，即时，等号成立。 ∴函数的值域为 三、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域。 例4. 已知，求函数的值域。 若直接利用均值不等式，则有，当时，等号成立，而，所以等号不成立。 解：∵在上为减函数 ∴函数在上为减函数 ∴函数在上的最小值，此时 ∴函数的值域为 例5. 已知，求函数的值域。 由题意可知均为正数，因的和不是定值，故需将进行适当的变形，构造定值。 解： ，当且仅当，即时，等号成立。 ∴函数的值域为 评注：在利用“均值不等式”求值域时，若不具备“定值”条件，需将其构造成定值，并巧妙用“定值”这个条件对所求式子进行分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式。 快乐学习，尽在中小学教育网