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利用一题多变复习一类三角函数最值问题 朝阳区特级教师丁益祥工作室 周明芝 三角函数的图象和性质、三角函数式和恒等变形及最值问题一直是高考考查的重点内容之一，几乎年年都考，而且试题难度系数控制在“易”到“中等”程度。在高考中取得此部分的分值，乃是考生“兵家必争之地”。 其中用降幂公式、辅肋角公式化简为后求最值的问题是考得比较频繁的一类问题。而文科学生对三角公式的变形和应用缺乏灵活性，在紧张的高三复习中利用一题多变来练习变式技巧，巩固基础知识是一个省时省力的好方法。 （1）求的最大值. 此题只需用辅肋角公式变形为就可以求出最大值为2，是一个很基础的题。先在此基础上给x加一个范围,变为: （2）求的最大值. 在变形为后，就要根据角的范围数形结合求最大值了。 解析：∵ ∴ ∴的最大值为. 在(2)的基础上把次数增高,变为: （3）求的最大值. 这样就得先用降幂公式再用辅肋角公式了。 解析：= ∵ ∴ ∴的最大值为. 在(3)的基础上给前加上一个负号,变为: （4） 此时应提出负号后再用降幂公式和辅肋角公式化为，或者直接化为。对正、余弦两角和差公式结构掌握不牢固的学生对这样的题容易出错。 解1： ∵ ∴ ∴的最大值为. 解2：= ∵ ∴ ∴的最大值为. 在(4)的基础上加一个参数,变为: （5）（为实常数）在区间上的最小值为－4，那么a的值等于 （ ） 解析：= ∵，∴ ∴的最小值为.∴ 选（C） 在(1)的基础上加上向量,可变为: （6）已知向量，向量，则的最大值是_____；|2－|的最大值是_____ 解析：∵=.∴的最大值为2. ∵2－=, ∴|2－|==≤4 ∴|2－|的最大值为4 把这些基本题型串完后，就可以练习一些基本题，进行巩固和深化了。 练习：1.（07天津理17）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值． 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：． 因此，函数的最小正周期为． （Ⅱ）解：因为 ∵ ∴ ∴ ∴ 故函数在区间上的最大值为，最小值为． 2.（湖北文16）已知函数，． （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 解：（Ⅰ） ． 又，，即， ． （Ⅱ），， 且， ，即的取值范围是．