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利用伸缩变换简解面积最值问题
湖北省老河口市第一中学(441800)窦咏梅
Email:dymdouyongmei@
《中学生数学》2009年8月上介绍了“巧解一类面积最值高考题”,主要是联立直线与椭圆方程,利用判别式求解,对运算仍然有要求.下面介绍一种利用伸缩变换解这类高考题的简单解法.
伸缩变换是中学几何中常见的一种线性变换.对椭圆做伸缩变换,,椭圆就变成圆.在此变换下任何一对对应多边形的形状虽然发生了改变,但是对应多边形的面积比是一个定值,即变换之前的多边形面积是S,变换后对应的多边形面积为S`,则有.利用伸缩变换对应多边形的面积比是一个定值的不变性,我们就可以借助于圆的平面几何性质巧妙地解一类高考中与椭圆中心弦有关的面积最值问题.
例1 (2006年上海卷文科21)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;
(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
解(1)椭圆的标准方程为
(2)PA中点M的轨迹方程是.
(3)作线性变换则椭圆变成圆O`:,如图2此时直线BC对应的变成直线B`C`,并且线段B`C`是圆O`中的一条直径.点A变成点A`,设A`到直线B`C`的距离为d ,由平面几何性质知d ≤︱A`O`︱. 所以 =,当且仅当B`C`⊥A`O`时取“=”.还原到椭圆中,由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知, =2 ≤因此△ABC的面积的最大值是.
例2 (2008全国卷二理科21)设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
解(Ⅰ)略
(Ⅱ)依题设得椭圆的方程为,作线性变换则椭圆变成圆O`:.如图4此时点A变成点A`,点B变成点B`,直线AB,EF对应的变成直线A`B`,E`F`.其对应的方程分别为和,线段E`F`是圆O`中的一条直径.所以,.
设点A`,B`到直线的距离分别为,,四边形A`E`B`F`的面积为
=当且仅当E`F`⊥A`B`时取“=”. 此时,即.还原到椭圆中,由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可时,四边形的面积S=2S`
即当时,四边形的面积最大值为.
发表在《中学生数学》2010年第4期
A
_
1
_
F
_
O
_
F
D
图2
图1
B
_
C
_
图4
图3
E
O
A
x
y
B
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