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利用分式方程的增根解题 山东省高青县田镇初中（256300） 张 明 我们知道，解分式方程需要验根，这是因为在解分式方程时，有可能产生使分式方程中的分母为零的未知数的值。反过来，已知分式方程的增根的特性，可解决一些与增根有关的问题。下面举例说明。 例1 当k为何值时，方程会出现增根？ 分析：原方程出现增根，只能是，通过可求出k的值。 解：原分式方程去分母，得 ① 若原方程会产生增根，则有增根为，代入①，得 所以当时，原方程会产生增根。 评析：分式方程的增根是在去分母时产生的，增根虽然不适合原方程，但它既是去分母所得整式方程的根，又是使原方程各分母的最简公分母为零的未知数的值。灵活利用这两点，是解决此类问题的关键。 例2 使分式方程产生增根的m的值为___________。 解：去分母，得 即 若分式方程产生增根，则增根为 把代入，得 所以 例3 分式方程有增根，则m的值为多少？ 解：原方程去分母，整理，得 因为是原方程的增根 所以将代入 解得 例4 a为何值时，关于x的方程有解？ 解：原方程去分母，整理，得 因为原方程有解，又是原方程的增根，所以原方程的解 例5 已知分式方程有增根，求a的值。 分析：原方程的增根只能是，利用可求出a的值。 解：原方程去分母，得 ① 分式方程有增根，则有 当时，代入①得a的值不存在； 当时，代入①得 所以 例6 关于x的方程有增根，求k的值。 解：原方程去分母，得 ① 若原方程有增根，则 当； 当 所以 （初二） 2