广义平面应力状态的分解定理.pdfVIP

维普资讯 广义平面应力状态的分解定理 李汉华 (江西建设职业技术学院 330038) 摘 要：平面应力和广义平面应力是弹性理论的重要问题，本文以一种新的方式证明了广义平面应力状态可分 解为平面应力状态与剪切状态之和。 关键词：广义平面应力 ；平面应力；剪切状态 0 引 言 式中 =a：+a：是二维Laplace算子， (X， 设弹性体占有的区域为一薄板Q， y)为双调和函数，即 Q={(x，Y，z)I(X，y)∈G，Izlsh} (1) = O (6) 式 (1)中坐标Z垂直于板面，G为二维区域，板 定理 l的证明参见¨工对广义平面应力问题 ， 的厚度为2h，并假定 2h比板的横向特征尺小得 Gregory[3最近证明了一个如下的分解定理。 多，在板的侧面受有关于Z=O的对称外力，在板内 定理2 设 无体力，在板的上下表面也无外力，即 l。如(1)所示的弹性体Q无体力，侧面 力关 于Z=O对称， 丁Ⅱ=丁玎=盯=0，(X，y)∈G，Z=±h (2) 2。条件(2)成立， 这里丁 ，下 ，盯为应力分量。 3。条件(4)成立， 在上述几何和物理特点之下，所谓平面应力问 则广义平面应力问题的应力场为， 题，就是对弹性力学问题作如下的假定， 盯Ij=盯：+盯； (6) ，r=，r=仃=0，(X，Y，互)∈Q (3) 这儿 盯为由式 (3)、式 (5)所定义的平面应力 也就是把板平面条件(2)扩展为整个板的区 状态，盯是所谓剪力状态，它的定义如下 域 咔。 盯z=2S 所谓广义平面应力问题 ，按Filon的说法，是在 ． Iy，盯；=一2S．Iy，丁：y=s．一s．yy1 ，1、 同样的几何和物理特点之下，假定 丁：I=s 下；l=一S ，(Jr：=O J 一 盯=0，(X，Y，z)∈Q (4) 式里下标中的逗号表示对其后变量的微商，S (X，y，z)为Z的偶函数，且满足下面三个条件， 关于平面应力问题，MicheU证明了下述定理， 定理 l 设 s=0， =a：+a；+吒 S = l。如(1)所示的弹性体Q无体力，侧面外力关 ． o，(x，y)∈G，z=±hI (8) 于Z=0对称。 』：ts(X，Y，z)dz=o J 2。条件 (3)成立， Gregory3【给出的证明较复杂，而且引用了不 则应力分量 盯，cr，，Trt在Q上有表达式， 少他过去的工作。本文以一种直接的方式证明弹