一道几何题的变式研究.pdfVIP

36 数学通报 2011年 第 5O卷 第 11期 一 道几何题的变式研究 张湘君 (北京师范大学数学科学学院 100875) △HBE的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边 重合 ，过点E作 EF上AE交 DCE的平分线于 点F，试探究线段 AE与EF 的数量关系，并说 明理 由． 口 C E “ 图 2．1 分析 根据下面注记 中的分析得到 HA=：= CE，由于 AEF一90。，则有 BAE一 FEG， 于是得到 HAE一 CEF，结合两个 45。的角 AHE=：= ECF，所 以△AHE △ECF，故有 AE— EF． 注记 1 将条件 “E是边BC的中点”弱化为 直线 BC上的一点，但题设 中 “一个含有 45。角的 三角形△HBE”可 以得到 HA—CE，从而提供 了 解题思路 ，在变与不变中展示几何的魅力． 二 2．2 互换原题的条件与结论 变式2 如图2．2(1)，已知正方形ABCD在 直线MN 的上方，BC在直线MN 上，E是BC 上一点，以AE为边在直线MN 的上方作正方形 AEFG ． G M B E C N 图2．2(1) 2011年 第5O卷 第 11期 数学通报 (1)连GD，求证 ：AADGo~△ABE． P是BC延长线上的一点 ，N 是 DCP的平分线 (2)连FC，观察并猜测／FCN 的度数 ，并说 上的一点．若 AMN=90。．求证：AM=MN． 明理 由． (2)如图2．3(2)，将 (1)中的 “正方形ABCD” G 改为 “正三角形 ABC”，N是 ACP 的平分线上