从圆到椭圆的不变性质及其应用.pdfVIP

2014年第6期 中学数学研究 ·19· 从圆到椭圆的不变性质及其应用 广东省东莞市第十高级中学 邓振江 (523981) 1．引言 仅保持直线的平行关系不变而且还保持平行线段的 长度比不变． 人教版选修1—1P，：(人教版选修2一lP，。)对 椭圆描述都是基于椭圆的定义“到两个定点E、R 证明：设圆茗2+y2=n2所在平面上有直线厶与 的距离的和为一个定值(大于IF。F：I)的点的集直线厶平行，点A(戈。，Yo)和点曰(菇，，)，，)在直线L。 合”，椭圆的定理及圆与椭圆关系也很少涉及，这对 大家认识以及应用椭圆很不利． 由人教版选修1一lP43(人教版选修2—1P5。)B 川，且设筹地即√}等揣 组第一题，笔者发现：椭圆是圆通过一个特殊的仿射 =M，又直线厶与直线如平行，当直线厶和直线厶 变换得到的一种圆锥曲线，它们之间有着一个特殊 的斜率存在时有丛二＆：塑卫，当直线Ll和直线 的仿射关系，利用这一关系可以把圆的一些性质定 理推广到椭圆上，也可以直接用这一关系来解决一 厶的斜率不存在时，即茗。=XO且奶=屯时，有Y，一 些实际问题．把握椭圆与圆的这一仿射关系，可以帮 Yo=Y3一儿．综上，直线厶与直线L2平行，则有()，， 助我们更多更深入地了解椭圆，也可以推广仿射关 一扎)×(石3一算2)=(菇l一石o)×(儿一Y2)． 系这种研究方法． 2．预备知识 引理l 从圆到椭圆的压缩变换(沿Y轴方向) 保持点的横坐标不变． 引理2 从圆到椭圆的压缩变换(沿y轴方向) 中点的纵坐标成比率． 定理1 圆经过压缩交换(沿y轴方向)后得出 图1—1 图1—2 的是椭圆． 证明：取仿射变换以后曲线上任意一点设为点 而在圆的仿射图形椭圆每+告=1上(如图1 。2 ．，2 —2)，直线￡7。和直线L’：上则分别包含点A’(茗’。， 肘(戈，)，)，则它满足椭圆的标准方程与+旨=1(口 “ c， bO)．现在证明lMFll+I肘疋l=2a(一a≤石≤ l； I 其中石’。=‰；，，’。=≯b；石7I=茗l；y’l=7b 口)，贝0 MFlI+I肘疋l=~／(省+c)2+)，2+ 厂————————————1i—r 3，当直线L1 石’2=％)，’2=知；石’3=挪y’3=7b 以i研=．心+c)2+b2一辱+ 、『 Ⅱ 厂————————————11—互- 和直线厶的斜率不存在时即茗。=茹。且茗，=茗：时， ．似一c)2+b2一等 则茗’l=髫’o且茗’3=髫’2；当直线L1和直线厶的斜率 石孕了云雨+石孕=爵雨 存在时则有2等：鱼丝二丛：格无论 茗41一戈。0 a茁l—Xo茗。3一并。2 口