抽象函数问题的解法(上).pdfVIP

维普资讯 12 中等 数 学 躺象凌 润遥渤 (上) 周 华 生 (江苏省常熟市中学，21550o) 抽象函数问题，由于题目给出的不是一 ： 一 ． C一 · ② 个具体的函数，因而往往难以解决．本文介绍 比较式①、②，可得c：1． 此类题的一些解法和技巧，供大家参考． 从而，对任意xER，有 1 换元法 ， ()：1一 ． 例1 确定所有的函数，：R—R，其中R 是实数集，使得对任意 、yER，恒有 反之，易验证 )：1一 满足题意． 一 y))：／厂(y))+ Y)+ )一1 因此，所求的函数为 ()：1一鲁． 成立． (第40届mO) 2 递推法 分析：若以某一新变量代替原方程中自 变量的表达式，则可将原方程化简，从而便于 反复应用题设条件，逐步递推，从而求得 求解． 函数式． 解：记 A：Imf为函数 的像的集合， 例2 设 口EN+．求函数 ：N+一R，使 c： 0)．对于 ：Y：0，可得f(一c)：f(c) 得对任意的 、YEN ，xy口，均有 +c一1，故c≠0． f(+Y)= (xy一口)． 取 ：厂(Y)得 解：任取tEN ，因为t：(t+口)一口及 1+(t+口)：口+1+t，贝4 ()： 一鲁， ① ．(t)：／．((t+口)×1一口) 对任意 EA成立． ： 1+t+口)： (口+1)+t) 取Y=0得 ： ((口+1)t一口) {／．(—c)一／．()IER} ： f((口+1)(t一1)+1) ： {c+厂(c)一1IER}：R． ： ． 厂((口+1)(t一1)一口)：… 因为c≠0，可知对任意xER，存在Y、 ：／．((口+1)×1一口)：／．(1)． Y，∈A，使得 因此，所求函数为常函数，且 一 f()： 1)(常数)． yl一 2· 根据式①有 例3 求函数f：R+一R+，使满足 )： Y。一Y：) ))：6x-f()． (第3o届IMO加拿大训练题) ： Y2)+Y1