有序化假设,寻找解题突破口.pdfVIP

2008年第 10期 l5 有序化假设 ，寻找解题突破 口 朱 忠 保 (广东省东莞市东城职业中学，523125) 对于已知条件中的数学对象，作出有序 减小数)所得的差中，至少有 3个相等． 化假设 ，是一种有效的 “增设 已知条件”．例 分析：20个正整数两两相减，其差有 如，当我们说 “不妨设……”时，实际上是在给 = 190个，它们都大于0，且这些差都介于 1 题 目增加已知条件 (增设)，这种增设不改变 到99之间，共有99个值．现在这 190个差， 题意并且有助于解题 ，因而是有效的． 只有 99个值，按抽屉原理，这 190个差中可 当问题出现多个元素时，若按一定的规 以没有 3个差相等．“正难则反”，因此，不妨 则将其重新排列，则排序本身就给问题增加 从反面考虑，通过计算来构造矛盾．虽然我们 了一个不等式条件，这样就可以降低 问题的 并不知道给定的20个数是哪些数，但可以用 抽象度或复杂性，并提供了一个解题的突破 字母表示这些数 ． 口．需要指出的是，当元素的结构不具对称性 证明：作有序化假设，记这 20个互不相 时，这样的 “不妨设”或 “限定”可能会改变题 等的正整数从 ／bN大依次为 a，a：，…，a∞． 意，这是需要特别注意的． 若命题不成立，则 例 1 给定 20个互不相等的正整数，它 a2o— a 19 ，a t9 一 a 18，… ，a2 一 a 1 们均不超过 100．求证 ：它们两两相减 (大数 这 19个正整数中也没有 3个相同． 收稿 日期：2008—04—10 修回13期：2008—07—14 从而，1，2，3，4，5，6，7，8，9在其中最多出 如图6，设角平分线 ，分别交BC、o0、 注葸到 直线 FE 于点 D、A、，，延长 DB到点P， ^ ： 90。 使 船 =AB．则 A船 ：I~ABC ． = ／F2ElA+ 4El， = (+ E)+ = (+／AI。G)+ ． 所以， A，C： ： APC． 从而，A、P、 、C四点共圆，有 AJ『。P= ／ACP： AAlB． 嵌AB／／1lP． 则 = ：丽AB=A1 面 ． 图6