立体几何中的截面问题.pdf

2007 年第 3 期 5 立体几何中的截面问题 傅 钦 志 (浙江省衢州中专 ,324000) 　　(本讲适合高中) 于是 ,所求的另一截面应与 A 1 D 1 、D 1 C1 截面问题涉及到截面形状的判定 、截面 ( ) ( ) 相交 不过其端点 ,为六边形. 故选 B . 面积和周长的计算 、截面图形的计数、截面图 评注 :先计算出特殊位置的截面与底面 形的性质及截面图形的最值. 本文介绍此类 所成的角 ,再根据截面所处的位置确定截面 问题的求解方法. 的形状. 若截面与棱 DD 1 相交 ,则截面为五 ( 1 　判断截面图形的形状 边形 ;若截面与棱 A 1 D 1 、D 1 C1 都相交 但不 ) 过其端点 , 则截面为六边形 ; 若截面与棱 例 1 　过正方体 ABCD - A B C D 的 1 1 1 1 A 1 B 1 、B 1 C1 都相交 ( 但不过点 B 1 ) , 则截面 棱 AB 、BC 的中点 E 、F 作一个截面 ,使截面 为四边形. 与底面所成的角为 45°. 则此截面的形状为 ( ) 　　 . 2 　截面面积和周长的计算 (A) 三角形或五边形 　　例 2 　如图 2 , 正方体的三条棱为 AB 、 (B) 三角形或六边形 (C) 六边形 BC 、CD ,AD 是体对角 (D) 三角形或四边形 线. 点 P 、Q 、R 分别在 (第六届希望杯全国数学邀请赛) AB 、BC 、CD 上 , A P = 讲解 : 如图 1 , 显 5 , PB = 15 , BQ = 15 , 然 ,过点 E 、F 必有一 CR = 10 . 那么 , 平面 个截面与棱 BB 1 相 PQR 向各方向延伸后 图2 交 ,此截面是三角形. 与正方体的交线组成 设过点 D 1 的截 的多边形的面积是多少 ? 面与底面所成的角为 (第 16 届美国数学邀请赛) α,易求得 图 1 讲解 :因为 B P = BQ ,所以 , PQ ∥AC . 这