4.2 凹凸性与图形的绘制.doc

4.2 凹凸性與圖形的繪製 本節的目的在於完整的繪製多項式函數的圖形。在前一節當中，我們知道給定一可微函數，我們可求得函數圖形在哪些區間遞增以及在哪些區間遞減，甚至知道相對極值點。然而應該用哪一種的圖形做連接呢？下面的圖4.2.1(a)(b)說明了如果一連續函數圖形過及兩點，則我們有二種方式連接： (圖4.2.1(a)) (圖4.2.1(b)) 對於左圖，我們稱在區間的圖形為凹向上(concave up)，而對於右圖，我們稱在區間的圖形為凹向下(concave down)。函數圖形的凹凸性之定義如下： 函數圖形的凹凸性 假設為一連續函數，為一開區間，如果對任意的、，，連接及的直線在的圖形上(下)方，我們說在上的圖形為凹向上(向下)，如圖4.2.2(a)與圖4.2.2(b)。 (圖4.2.2(a)) (圖4.2.2(b)) 接下來的問題是，如何找出函數的圖形在凹向上或凹向下的區間？ 現在我們假設為一個二次可微函數。從下圖可看出，若的圖形在是凹向下，則的切線斜率是遞減的，換句話說，在上是遞減的，也就是說在上的值非正。反之，若在上恆負，則的切線斜率遞減，所以的圖形在上是凹向下的。同理可知，如在中的二次微分恆正，則其圖形凹向上。 (圖4.2.3) 根據上面的論述，對一個二次可微函數我們可輕易用其二次微分值識出其圖形凹向上及凹向下的區間。 例題2.1 求函數在哪些區間上圖形為凹向上，在哪些區間上圖形為凹向下。 解：因 ， ， 所以當時，亦即在上的圖形為凹向下。 另一方面，當時，我們知道在上的圖形為凹向上。 由前一節與上面的論述可知，如果在區間的圖形具有一致性，則在上的圖形有四種可能： 1. 在上的圖形遞增且凹向上，如圖4.2.4(a)。 2. 在上的圖形遞增且凹向下，如圖4.2.4(b)。 (圖4.2.4(a)) (圖4.2.4(b)) 3. 在上的圖形遞減且凹向上，如圖4.2.4(c)。 4. 在上的圖形遞減且凹向下，如圖4.2.4(d)。 (圖4.2.4(c)) (圖4.2.4(d)) 討論至此，我們應可完整的繪製多項式函數的圖形。 例題2.2 畫出的圖形。 解：由 ， 及 ， 我們知的解為1、，而的解為0；接著用、0、1三個數將實數軸分為四個區間：、、(0,1)及，分別討論的圖形在這四個區間的遞增、遞減及凹凸性。我們可做表格如下： (0,1) ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ 由表格知，在上的圖形為遞增且凹向下， 在上的圖形為遞減且凹向下， 在(0,1)上的圖形為遞減且凹向上， 在上的圖形為遞增且凹向上， 又由於函數通過、(0,0)、，故的圖形如下圖： (圖4.2.5) 藉由圖4.2.5，我們來觀察點(0,0)在的圖形中所扮演的角色：在(0,0)的左邊，函數的圖形是凹向下的，而在其右方，函數的圖形是凹向上的，在這種情況下，我們稱(0,0)為反曲點(inflection point)；其定義如下： 反曲點 假設為一連續函數，如果存在一使得函數的圖形在凹向上(下)，而在是凹向下(上)，亦即的圖形之凹凸性在的附近改變了，則我們稱為之反曲點。 若一函數為二次可微函數，且為一反曲點，則，反之則不然，下面的例題可資佐證。 例題2.3 求下列各函數的反曲點 (a) . (b) . 解：(a) 先求的解： 因 ， 故 . 所以的解為1與且函數通過及，而這兩點是否皆為反曲點呢？ 利用1、將實數軸分為三個區間：、、，我們可做出以下的表格： ＋ － ＋ 由表格知，及皆為反曲點。 (b) 仿前例，先求的解： 因 ， 故 . 所以的解僅有0，且(0,1)為唯一的反曲點候選人。接著，以0分實數軸為及兩區間，我們可做表格如下： ＋ ＋ 由表格知，(0,1)並非反曲點。 回到本節的目的：多項式函數的圖形繪製。 多項式函數的圖形繪製 假設為一多項式函數， 1. 求及的解。 2. 利用1中的解將實數軸分為數個區間，並做表格顯示與的正負性。 3. 求出1中的解所對應的函數值，及盡可能求出-截距與-截距。 4. 利用2中之表格求出相對極值與反曲點。 5. 在座標平面上標出3及4中所求出之點，並利用2中的表格合理的連接這些點。 例題2.4 繪製下列各函數的圖形，圖形必須顯