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上海中学数学·2014年第10期 由一道期末试题说开去 315131 浙江省宁波市鄞州区正始中学 何卫华 例1 程为——． (2014鄞州区期末一16)已知双曲线与 n。 如图1，由题意可知该双曲线的两条渐近线为 一矿22一--1(口o，6o)的右焦点为F，过F的直线z 3，=±}，由双曲线的对称性，只需考虑直线z和 交双曲线的渐近线于A、B两点，且和其中一条渐 近线垂直，若苁一4商，则该双曲线的渐近线方 yz硼)一警×(一p)+孚一o． 因为M点在切线方程上，即号产+％学=1， 三、探究后的再探究 —XZ—XO一4-业一1 一 日2 b2 结论2既然对抛物线是成立的，笔者大胆地猜 1．又点 测该结论对于椭圆和双曲线也成立． 所以AB的直线方程为挚+学2 结论3 已知过椭圆任意一个焦点F的直线交 F(一c，o)在直线AB上，于是￡乏乎+生萨亍1， 它与A、B两点．过A、B两点分别作椭圆的切线， 设其交点为M，则M点一定落在椭圆的与焦点F 即z。=一竺-．因此，M点一定落在抛物线的左准线 相对应的准线上，且瓦落·商0． 注：“与焦点F相对应的准线”是指如果直线是 z：一生上． 过椭圆的左焦点，则M点一定落在椭圆的左准线 上．反之则落在右准线上． z 2 —0坤·‘k一--生、] 1_ n。vn 因为‰“加一X羔o ， n。I、 ， 证明：要证明结论3，只需证明“与+告一1 C‘等一孟 n。 D。 (n60)，F为左焦点(一C，O)”这种情况． 一--1，即直线FM垂直于直线AB． 设A(x1，Y1)，B(x2，Y2)，M(xo，Yo)．所以前．商一o． 对椭圆方程与+告一1(口60)两边求导得利用上述证明结论3的方法，同理可以证明下 n。 D。 面的结论4(证明略)． 窘+簪_o，帅7一笔． 结论4 已知过双曲线任意一个焦点F的直线 交它与A、B两点．过A、B两点分别作双曲线的切 于是，过A、B两点的切线方程为Y—Y。一 线，设其交点为M，则M点一定落在双曲线的与焦 一舞cX--,r1，,Y--Yz一篆cX--X2，．点F相对应的准线上，且前·盈一o． 一道高考题就引出了如此丰富的结论，让人眼 整理b221T+n2yly=b2x；+口2Y；，b222z+ (*) 盘2Y2Y—b2z；+口2y1． 前一亮．抛物线、椭圆和双曲线这三种圆锥曲线有区 别，但某些结论也存在着一定的共性．只要时不时 因为手+》一1，手-4-荸一1，即62z；+