相关知识点在解竞赛题中的应用.pdfVIP

维普资讯 2OO7年第 12期 ◆命题与群题◆ 相 关 知 识 点 在 解 竞 赛 题 中 的 应 用 任 爽 (天津师范大学数学科学学院06级研究生，300387) 解数学竞赛题，掌握相关的知识点非常 BH sin HCD COSB — 重要．本文仅以2OO7年全国高中数学联赛加 CH ’ 试第一题为例，说明相关知识点在解竞赛题 故 P=H，即P是△ABC的垂心． 中的应用． 证法2：由COS 尬P=cos ECP，可得 题 目 在锐角 ／XABC中，ABAC，AD A +BP 一AP AC +CP 一AP 2仙 · 一 2AC ·CP ’ 是边BC上的高，P是线段AD内一点，过 P 作咫 _l-AC，垂足为 E，作 PF_l-AB，垂足为 肋 s△ 专仙。sinLFBP F．D、D：分别是△ BDF、△ CDE的外心．求 即 DC —S 一1 AC ． CPsin·L ECP 证：D、D：、E、F四点共圆的充要条件为P 是△ABC的垂心． 仙 +BP 一 一 证明：充分性． AC + ce2一AP 若 P是△ABC的垂心，由于△ BDF、 AD +BD +PD +BD 一(AD一户 ) 一 △ CDE的外心分别是 、CP的中点，因此， AD +CD +PD +CD 一(A 一 D) △ ABC的九点圆过Dl、D2、E、F，即Dl、D2、 一 2BD +2AD ·PD 2CD J-2AD ·PD ‘ E、F四点共圆． 于是，肋 +ADPD=CD+ADPD 必要性． ． 百 若