高次代数方程的求解与软件实现.pdfVIP

第 25 卷第 3 期 泰 山 学 院 学 报 Vol . 25 　NO. 3 2003 年 5 月 JOURNAL OF TAISHAN UNIVERSITY May 　2003 高次代数方程的求解与软件实现 赵 玉 明 ( 山东服装职业学院 ,山东 泰安 　271000) [摘 　要] 　求解高次代数方程实根的精确值是比较困难的. 文章介绍了几种近似求解的方法 ,并给出了 Turbo C 实现程序. [ 关键词] 　高次代数方程 ; 求解方法 ; Turbo C 程序. ( ) [ 中图分类号] 　O151 　　　[文献标识码] 　A 　　　[文章编号] 　1672 - 2590 2003 03 - 0031 - 05 多项式方程 Pn ( x ) = a0 x n + a1 x n - 1 + …+ an - 1 x + an = 0 ,称为 n 次代数方程 ,又称多项式方程. 其 中 n = 1 ,2 , . . . . . . , ak 是实系数或复系数 , a0 ≠0 . 当 n 1 时 ,它叫高次代数方程 ,其次数是 n . 多项式 的零点就是对应代数方程的根. 代数基本定理说 , 复系数代数方程在复数域至少有一个根. 如果 x 1 是一个根 ,则 Pn ( x ) 一定可以 ( ) ( ) 被 x - x 1 所除尽 ,其商为 n - 1 次多项式. 如果 n 1 ,其商至少又有一个根 x2 ,它也是原来方程的一 个根. 因此 n 次代数方程总有 n 个根 x 1 , x2 , …, x n ,其中可能有相同的根 , 即重根. 德国的数学家高斯 ( Gauss) 对该定理作了4 次证明,但他的方法不是去计算一个根 ,而是证明了它的存在性. 要求高次代数方程实根的精确值 ,往往是比较困难的 ,因此这就需要寻求方程的近似解. 下面介绍 几种近似求解的方法. 1 　利用多项式性质的求根方法 1. 1 　劈因子法 用 x 的二次式 U ( x ) = x2 + u1 x + u2 除 Pn ( x ) 则得商 Q ( x ) 及余式 r ( x ) = r1 x + r2 , 因而有 Pn ( x ) = U ( x ) Q ( x ) + r ( x ) ( 1) 设 U ( x ) 是一个近似二次因式 ,修改 u1 和 u2 使对应的余式更接近于零. 为此 ,作线性近似 ,取 U ( x ) = x2 + ( u1 + d u1 ) x + ( u2 + d u2 ) ,使 r ( x ) = ( r1 + d r1 ) x + ( r2 + d r2 ) = 0 ,则修正量 d u1 、d u2 应满足 d r1 + r1 = 0 方程组 ,即 d r2 + r2 = 0 r1 r1 d u1 +