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CH3 Z变换.ppt
CH3: Z变换 [5] Z域微分特性(续) 证明: [5] Z域微分特性(续) [6] 共轭特性 假设序列x(n) ,则 [6] 共轭特性(续) 证明: ROC问题:相同 [7] 实部与虚部序列 设序列x(n)的实部和虚部分别是Re{}和Im{} ,则 南京大学 计算机科学与技术系 主讲教师:王崇骏 主要内容 [1] Z变换的定义 [2] Z变换的性质 Z变换定义 一个序列x(n)的Z变换定义如下: 其中z是复变量。对于X(z)存在的z集合称为收敛域(ROC),并由下式给出: Z变换定义(续一) 1)复变量z称为复频率,其定义是: 其中|z|是衰减(阻尼),w是实频率 Z变换定义(续二) 1)由于ROC是用幅度定义的: 所以ROC的形状是某个圆环(圆) Z变换定义(续三) 1)如果: 那么ROC是一个零空间,Z变换不存在 Z变换定义(续四) 1)如果ROC包括单位圆,那么就能在单位圆上对X(z)求值: (这是离散时间傅立叶变换,后文详述) Z变换定义(续五) 1)双边Z变换 2)右边序列:对 时候x(n)=0,其Z变换 3)左边序列:对 时候x(n)=0,其Z变换 Z变换定义(续六) 2)有限长序列:对nn0且nn1时候x(n)=0,其Z变换 例题 其收敛域应包括 即 充满整个Z平面。 求序列 的Z变换及收敛域。 解:这相当 时的有限长序列, 例3-1 令 ,求其Z变换。 极限存在的条件是: 例3-1(续) 例3-2 令 ,求其Z变换。 复习: 极限存在的条件是: 例3-2(续) 比较例3-1和例3-2可以发现,两者的z变换表达式一样,但是收敛域不一样。 ROC是保证Z变换唯一性的特征。 例3-3 令 ,其中, 求其Z变换。 利用例3-1和例3-2的结果: 例3-2(续) 比较例3-1和例3-2可以发现,两者的z变换形式一样,但是收敛域不一样。 ROC是保证Z变换唯一性的特征。 零点和极点 当X(z)表示为多项式之比时,即: 将多项式N(z)的根称为X(z)的零点 将多项式D(z)的根称为X(z)的极点,那么: 其中,Pk是mk阶极点数 X(z)的收敛域一定不包含极点。 几个结论 对于右边序列,其ROC总是位于半径为Rx-的圆外,其极点肯定在此圆内; 对于左边序列,其ROC总是位于半径为Rx+的圆内,其极点肯定在此圆外; 对于双边序列,其ROC总是位于介于Rx-和Rx—+之间的圆环,其极点在此圆环外; 几个结论(续) 至少有一个极点是位于 一个有理X(z)的ROC边界上; ROC是一个连通的区域,不会分成几片; Z变换的性质 [1] 线性 [2] 时间反转特性 [3] 移位特性 [4] 尺度变换特征 [5] z域微分 [6] 共轭特性 [7] 实部和虚部序列 [8] 卷积定理 [1] 线性 假设两个序列x1(n)和x2(n)和任意常数k1,k2,则 [1] 线性(续) 证明: [例2-7]已知 ,求其z变换。 解: [2] 时间反转特性 假设序列x(n) ,则 [2] 时间反转特性(续) 证明: ROC问题: [3] 移位特性 假设序列x(n) ,则 [3] 移位特性(续) 证明: ROC问题:与 相乘可能引入或去除 处的极点,因此,此时可能会有例外。 [4] 尺度变换特性 假设序列x(n) ,则 [4] 尺度变换特性(续) 证明: ROC问题: [5] Z域微分特性 假设序列x(n) ,则 * *
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