数值计算简明教程.pptVIP

引论 许多科学问题的解决都离不开科学计算。本门课程将着重 绍进行科学计算所必须掌握的一些最基本、最常用的算法,并分 析其误差。 研究算法的意义 尽管计算机的运算速度高， 可以承担大运算量的工作，但这并 不意味着我们可随意选择 计算机上的算法，相反的，算法的优劣决 定着计算效率的高低，能否正确地制定算法也是科学计算成败的关 键。 什么是算法 我们所说的“ 算法”必须是构造性的数值方法，即不但要论证问 题的可解性，而且解的构造是通过数值演算过程来完成的。同传统 的近似计算方法不同，我们要研究的算法是为电子计算机提供的， 解题方案中的每个细节都必须准确的定义，并且要完整地描述整个 解题过程。我们所说的“算法”不仅仅是单纯的计算公式，而是指解 题方案的准确而完整的描述。 计算公式是算法的核心概念。计算机上使用的算法，其计算公 式常采用递推化的形式。递推化的基本思想是将一个复杂的计算过 程归结为简单过程的多次重复。 这种重复在算法上表现为循环，描 述是容易的。 多项式求值的秦九韶算法 设要求对给定 的求下列多项式的值 由于该式有如下嵌套形式： 故有如下求该多项式值的秦九韶算法： 秦九韶算法的特点在于，它通过一次式的反复计算，逐步得出 高次多项式的值。具体的说，他将一个 次多项式的求值问题归结 为重复计算 个 一次式 来实现。 方程求根的二分法 设函数 在 上连续，且 ，假定 在 上有唯一的实根 。 考察有根区间 ，取中点 将它分为两半。然后 进行根的有哪些信誉好的足球投注网站，即检查 和 是否同号。若确定同号，说明所 求的根在 的右侧，这时令 ，否则必在 左侧，这 时令 ，于是我们就得到了一个长度压缩了一半的有根 区间 ，对于有根区间 施行同样手续可得到新的有根区 间 ，反复如此我们可得到一系列的有根区间： 令 ，则二分过程中可获得一个近似根的序列 逐步逼近所求的根 。 误差分析不可忽视 在研究算法的同时必须注意误差分析。否则，一个合理的算法 也可能得出错误的结果。比如，两个相近的数相减，会造成有效数 字的严重损失。两个相差悬殊的数作加减运算会造成“小数”吃“大数” 的后果等等。 误差的来源 数值计算中的近似是正常的，计算误差是不可避免的： 为要进行数值计算，我们往往把实际问题归结为数学问题，然后建 立起合适的数学模型。而这些模型描述的近似必然会产生误差；在 数值计算过程中也不可避免的会产生误差，本书主要考察截断误差 和舍入误差。 误差限和有效数字 设以 代表数 的近似值，误差的绝对值 的上界 称为近似值 的绝对误差限；称 为相对误差限，如果 满足： 对于 的近似值（规格化形式） 其中， 是 1-9 之间的自然数， ， 如果误差 则称近似值 有 位有效数字，或称 准确到第 位。 第一章 插值方法 1 问题的提出 2 拉格朗日插值公式 3 插值余项 4 埃特金插值方法 5 牛顿插值公式 6 埃尔米特插值 7 分段插值法 8 样条函数 9 曲线拟合的最小二乘法 引言 实际问题中碰到的函数是各种各样的。有的表达很复杂，有的 甚至给不出数学式子，而只是给出了一些离散数据——譬如某些点 的函数值和导数值。面对这种情况，一个很自然的想法就是构造某 个简单的函数作为要考察的函数的近似 。如果要求近似函数取给定 的离散数据，则称之为的插值函数。实用上，我们常取结构相对比 较简单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的代数插值。 本章先讨论代数插值，然后在此基础上进一步研究所谓的样条 插值。 问题的提出 “温故而知新”。本节将从插值方法的角度重新