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线性代数模拟试卷D及答案 (考试时间：120分钟) 一、填空题（每小题3分，共30分） 1.行列式中第2行元素的代数余子式的和____________，其中. 2.设矩阵，其伴随矩阵的逆矩阵___________． 3.设矩阵，则__________. 4.设三阶矩阵，三维向量，已知与线性相关，则 。 5.设向量组，，与向量组等价，则向量组的秩为__________. 6.设矩阵的秩（）是非齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组的全部解可以表示为____________________. 7.已知3阶矩阵的3个特征值为1，2，3，是的伴随矩阵，则__________. 8.设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为 。 9.已知实二次型经正交变换可以化成标准形，则 。 10.二次型为正定二次型,则的取值范围是 。 二、计算题（每小题9分，共63分） 1.计算行列式的值. 2.设，其中。 求（1）;(2)矩阵. 3.给定向量组，，，， （1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示。 4.解线性方程组 并用其导出组的基础解系表示该方程组的通解。 5.给定矩阵，求正交矩阵，使为对角矩阵。 6.已知三阶矩阵的特征值为1，-1，2，设矩阵。（1）试求矩阵的特征值；（2）问矩阵是否可以对角化，说明理由，如果可以对角化，指出与相似的对角矩阵。 7.已知二次型 （1）写出其矩阵表达形式;（2）求可逆线性变换，将其化为标准形。 三、证明题（本题7分） 设向量组线性无关，证明：向量组，，也线性无关. 线性代数模拟试卷参考答案与评分标准 一、填空题（每小题3分，共30分） 1.0；2.；3.4.-1；5.2；6.，为任意常数；7.36；8.2；9.2；10.。 二、计算题（每小题9分，共63分） 1.解： 2.解：（1）, (2) 3.解： 由此可得：（1）是整个向量组的一个极大线性无关组； （2）且， 4.解：对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，直至化成行简化阶梯型 一般解：，为自由未知量 特解：，导出组的基础解系 方程组的通解为： 5.解： 所以，特征值， 对于，对应的特征向量，单位化： 对于，对应的两个相互正交的特征向量，单位化， 取为正交矩阵，且使得 为对角矩阵。 6.解：（1）由于的特征值为1，-1，2，则的特征值分别为： ，， （2）由于3阶矩阵的3个特征值互不相同，所以可以对角化。与相似的对角矩阵为： 7.解：（1）矩阵表达形式为： (2) 令：，即作可逆线性变换： 可将原二次型化成标准形： 三、证明题（7分） 证明：设有使得 即： 那么： 由于线性无关，所以有 解得： 所以线性无关。 第1页（共6页） 第3页（共3页）