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经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数　　故选C　　举一反三：　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　 C、=±1 　D、是5的平方根的相反数　　【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，　　　　　　∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．　　　　　　∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、　　【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．　　【变式3】 　　【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10　　　　　　因此3π-9＞0，3π-10＜0　　　　　　∴ 类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（ ） 　　A. 　　　　　　B. 　　C. 　　　　　　D. 　　解析：（估算）因为，所以选B　　举一反三：　　【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________. 　　【答案】1）；.2）-3. 3）， ， 　　【变式2】求下列各式中的　　（1） 　　　（2）　　　　（3）　　【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______　　解析：在数轴上找到A、B两点，　　举一反三：　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2　　【答案】选C　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：　　　　　　　　　　　　 　　　　　　化简 　　【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142|　　(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)　　(5) |x2+6x+10|　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。　　解：(1) ∵=1.414…＜1.4　　 　　　 ∴|-1.4|=1.4-　　　　(2) ∵π=3.14159…＜3.142　　 　　　 ∴|π-3.142|=3.142-π　　　　(3) ∵＜, ∴|-|=-　　　　(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,　　 　　　 ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)| 　　 　　　 　　　　　 =|2x-3| = 　　说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。　　(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|　　　　∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0　　　　∴|x2+6x+10|= x2+6x+10　　举一反三：　　【变式1】化简：　　【答案】=+-=类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a, b的值。　　分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组 从而求出a, b的值。　　解：由题意得 　　　　由(2)得 a2=49 ∴a=±7　　　　由(3)得 a-7，∴a=-7不合题意舍去。　　　　∴只取a=7　　　　把a=7代入(1)得b=3a=21　　　　∴a=7, b=21为所求。　　举一反三：　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。　　解：∵(x-6)2++|y+2z|=0　　　　且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,　　　　几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。　　　　∴ 解这个方程组得 　　　　∴(x-y)3-z