续函数的性质.doc

续函数的性质 (一) 教学目的： 掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容： 连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求： 1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质． 2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别． (三)教学建议： 1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性 ———————————————————————————— 一 根据函数的在点连续性，即可推断出函数在点的某邻域内的性态。 定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。 定理4.3（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时， 定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在 连续，则（）在点连续。 例 因连续，可推出多项式函数 和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。同样由上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。 定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点连续。 证明 由于在连续，对任给的，存在 ，使时有 （1） 又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有.联系（1），存在 ，当时有 . 这就证明了在点连续. 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为 (2) 例1 求. 解 可看作函数与的复合.由(2)式,可得 注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 (3) 读者还可证明(3)式对于或等类型的极限也是成立的。 例2 求极限：（1）；（2）. 解 (1) (2) 二 定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有 ， 则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值. 例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）。如在上既无最大值又无最小值，又如 (4) 在闭区间上也无最大、最小值。 定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。 该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明. 推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有界。 定理4.7(介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得 . 推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点使得.即在内至少有一个实根. 应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值域也是一个区间；特别若为区间[a,b], 在[a,b]上的最大值为,最小值为，则；又若为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则 例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得. 证明 先证存在性。由于当时有，故存在正数，使得.因在上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点使得. 再证唯一性。设正数使得 由于第二个括号内的数为正所以只能，即. 例4 设在[a,b]连续，满足 （5） 证明：存在，使得 （6） 证 条件（5）意味着：对任何有，特别有 以及 . 若或，则取，从而（6）式成立。现设与。。令 ， 则，. 有根的存在性定理，存在 ，使得即. 三 反函数的连续性。 定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且 连续，则其反函数在相应的定义域 （）上递增（递 减）且连续。 证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 。 设 ，且 则 ，对任给的可在的两 侧各取异于的两点（）， 使它们与的距离小于（参见右图）. 设，由函数的严 格递增性，必分别落在的两侧，即 当 .令， 则当时，对应的的值必落在之间，从而. 应