两数之积两数之和大小比较的研究.doc

两数之积、两数之和大小比较的研究 瑞安市实验小学五（1）班 曹高煜 一、问题的提出 在一次数学课外练习中有这样一道题：在○里填上“＞”、“＜”或“＝”：1.2×2○1.2＋2。我没算，想当然地认为“一个数乘2肯定比加2大”，填成1.2×2○1.2＋2。订正之后，在单元测试中我还是犯了老毛病，算都没算，毫不犹豫地填了大于号，再次出错。听老师说，这道题我们的同学错得还蛮多的，全班有20多人错，我想大家也和我一样的想法吧。于是，我对错题进行记录、分析，并自己拟出类似的题进行解决。我拟出了题目：1.3×2○1.3＋2、1.4×2○1.4＋2、1.5×2○1.5＋2、1.6×2○1.6＋2……写着写着，我忽然发现其间仿佛有着什么规律，大叫起来：妈妈，好像有规律：一个数乘2的积好像都比这个数加2的和小？真的是我发现的这样吗？我有了要进一步研究的冲动。急于想知道这规律到底是怎么回事？我决定继续举例，再研究，看看到底是什么规律？ 二、研究过程 1. 初步研究，又生猜想 第一次举例 在第一次的基础上继续举例 我发现一个很有趣的现象，无论是1.99999……省略号无论代表有几个9，这个数乘2的结果都比加2的结果小。 猜想：那么是不是所有的数乘2的结果都比加2的结果小呢？我又有了新的猜想。 2. 第二次研究： 通过第二次的研究，我发现了自己第一次的猜想、发现是不完全正确的。通过研究我发现： 2×2＝2＋2。数“2”是一个临界点；一个比2小的数乘2结果一定比这个数加2的结果小；一个比2大的数乘2结果一定比这个数加2的结果大。 3.第三次猜想：一个数乘2与加2有这样的规律，那么乘3、乘4、乘5……规律是怎样的呢？我再次举例研究： 在举例时，我举出了那些能比较快找到两个数的积与这两个数的和大小相等的数值的例子。 …… 通过上面的举例，我知道了两个数的积与这两个数的和比较时，总能找到一个它们大小相等的数值。一个数乘或加的数越大，这个数（临界点）就越小。那么，这个临界点该怎么确定呢？如果一个数乘或加的数是4，要使左右两边相等，那么这个数应是几，该怎么求?于是我想到了这学期学的用字母表示数，一个数用a来表示，一个数用b来表示，那么a和b之间有什么关系呢？我又进行了研究。 4.字母表示，寻找两者关系 我将上面的式子用字母代替,写出了字母式子去找关系： a×b＝a＋b→接着，将a×b＝a＋b转化成一个数等于另一个数的形式：a＝，利用关系式很快由数b确定数a的值：当b=100时，利用a＝ 很快可以算出a= = ；当b=1000时，利用a＝ 很快可以算出a= = ；……这个研究真是一发不可收拾，在举例的过程中，我又发现了其它的规律。 三、我的结论 结论一：数a与数b的关系为：a＝ 结论二：当b大于1时，b值越大a值（即临界点）就越小，比a小的数乘b的结果比加b的结果小，比a大的数乘b的结果比加b的结果大； 结论三：b不能是1，如果是1，a×b＝a＋b式子不成立，无意义。 结论四：当b等于0时，a就是一个零分数，它的值也等于0。就无需讨论大小的问题了。 四、我的体会 数学真是神奇，一个看似小小的错例，认真去研究的话，原来会有这么多的发现。通过这次的研究，使我明白了实际上在数学知识背后隐藏着的是数学原理，一个错题也可能让我们懂得更多。只要我们善于观察、善于思考、乐于探索，我们就能发现别人所不能发现的规律，体会到数学那妙不可言的乐趣。数学可以让我们脑袋瓜变得更聪明，眼睛变得更亮…… 5 ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ ＜ ＜ ＜ 2.3×2○2.3＋2 2.4×2○2.4＋2 3.1×2○3.1＋2 4.8×2○4.8＋2 …… ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞ ＜ 0.8×3○0.8＋3、 1.1×3○1.1＋3、 1.2×3○1.2＋3、 1.5×3○1.5＋3、 1.8×3○1.8＋3、 2.1×3○2.1＋3、 1.51×3○1.51＋3、 我发现：比1.5大的数乘3的结果比加3的结果要大，比1.5小的数乘3的结果比加3的结果要小。数“1.5”是一个临界点。 = 0.8×6○0.8＋6、 1.1×6○1.1＋6、 1.2×6○1.2＋6、 1.5×6○1.5＋6、 1.8×6○1.8＋6、 2.1×6○2.1＋6、 1.21×6○1.21＋6、 我发现：比1.2大的数乘6的结果比加6的结果要大，比1.2小的数乘6的结果比加6的结果要小。数“1.2”是一个临界点。 = 0.8×11○0.8＋11、 1.1×11○1.1＋11、 1.2×11○1.2＋11、 1.5×11○1.5＋11、 1.8×11○1.8＋11、 2.1×11○2.1＋11、 1.21×11○1.21＋11、 我发现：比1.1大的数乘11的结果比加11的结果要大，比1.1小的数乘11的结