典型概率题及其解法.doc

典型概率题 例1 同时掷四枚均匀硬币，求： （1）恰有两枚“正面向上”的概率；（2）至少有两枚“正面向上”的概率． 分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本＄月于等可能事件的概率问题．四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上． 解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：（种） （1）恰有两枚正面向上的结果总数为，所以恰有两枚正面向上的概率为． （2）至少有两枚正面向上的结果总数为：种 所以至少两枚正面向上的概率为． 说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m枚正面向上的概率以及至少有m枚正面向上的概率，设两个事件分别为A、B，可以求到：． 例3 有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人．试求下列事件的概率． （1）事件A：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人． 分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题．所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为．事件A中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有种不同结果；事件B中恰有4个房间，每间1人与事件A的区别在于哪4间房不空；事件C中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人 解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：（种） （1）指定的4个房间每间1人共有种不同住法．∴． （2）恰有4个房间每间1人共有种不同住法．∴． （3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为： （种），∴． （4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为： （种），∴． 说明：“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系，比如，前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作，几列火车停在哪个站道，若干个同学各自在哪一天生日等等．我们可以看例子：某班有50名同学，一年按365天计算，至少有两名同学在同一天生日的概率是多少？50名同学相当于上述例题中的旅游者，每一天相当于“房间”，50名同学所有生日的不同结果总数为：，至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算，总数为，则至少有两人在同一天生日的概率为，利用工具计算后将会发现，这是一个很接近1的结果，即50个人的一个班级中，有两个人在同一天生日的概率很大，高达0.97，几乎是令人惊讶的结果． 例4 某人有5把钥匙，其中有一把是打开房门的钥匙，但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，于是他逐把不重复地试开，问： （1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开房门锁的概率是多少？ 分析：某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题．恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙，三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中，开房门钥匙出现在前3个． 解：本题是等可能事件的概率问题，某人5次拿钥匙的所有不同的结果是． （1）恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为：． 所以恰好第3次打开房门的概率为： （2）前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为：3． 所以前3次打开房门的概率为： 说明：如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，则在前3次内打开房门的概率是多少？三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙，我们可以通过分类讨论，恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为：，恰有两把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为，这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为，从而前3次内打开房门的概率为：． 例5 抽签口语测试，共有a＋b张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回，某考生只会考其中的a张，他是第k个抽签的，求该考生抽到会考考签的概率． 分析：因为每个人抽哪一张考签是随意的，所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列，而且各种不同的排列结果出现的可能性相同，本题是求等可能事件的概率问题．由于某考生