典型相关分析2.ppt

典型相关分析 典型相关是研究两组变量之间相关性的一种统计分析方法。也是一种降维技术。 由Hotelling (1935, 1936)最早提出，Cooley and Lohnes (1971)、 Kshirsagar (1972)和 Mardia, Kent, and Bibby (1979) 推动了它的应用。 典型相关分析 一、典型相关分析及基本思想 二、典型相关的数学描述 三、典型变量的性质 四、样本典型相关系数 五、典型相关系数的检验 六、典型相关分析的应用 问 题 1985年中国28 省市城市男生(19～22岁)的调查数据。记形态指标身高(cm)、坐高、体重(kg)、胸围、肩宽、盆骨宽分别为X1，X2，…，X6；机能指标脉搏(次/分)、收缩压(mmHg) 、舒张压(变音)、 舒张压(消音)、肺活量(ml)分别为Y1，Y2，…，Y5。现欲研究这两组变量之间的相关性。 实例（X与Y地位相同） 一、典型相关分析及基本思想 通常情况下，为了研究两组变量 的相关关系，可以用最原始的方法，分别计算两组变量之间的全部相关系数，一共有pq个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问题的本质。如果能够采用类似于主成分的思想，分别找出两组变量的各自的某个线性组合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简捷。 例 家庭特征与家庭消费之间的关系 为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变量： 典型相关分析示意图 二、典型相关的数学描述 考虑两组变量的向量 如果我们记两组变量的第一对线性组合为： （二）典型相关系数和典型变量的求法 利用柯西不等式有 记m为?12的秩，则 由特征向量可以构成一个正交矩阵T，有 若取 第一对典型相关变量提取了原始变量x组和y组之间相关的主要部分，那么这部分的信息不够，则还可以在剩余相关中提取第二对典型变量： 求 当取 注 有相同的特征根，而可以验证： 在剩余的相关中再求出第二对典型变量和他们的典型相关系数。设第二对典型变量为： 例 家庭特征与家庭消费之间的关系 为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变量： 三、典型变量的性质 1、同一组的典型变量之间互不相关 2、不同组的典型变量之间相关性 不同组内一对典型变量之间的相关系数为： 3、原始变量与典型变量之间的相关系数 原始变量相关系数矩阵 例 家庭特征与家庭消费之间的关系 为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变量： 第二对典型变量中u2与x2的相关系数为0.4614，可以看出u2可以作为文化消费特性的指标，第二对典型变量中v2与Y1和Y3之间的分别相关系数为0.8464和0.3013，可见典型变量v2主要代表了家庭成员的年龄特征和教育程度， u2和 v2的相关系数为0.1869，说明文化消费与年龄和受教育程度之间的有关。 4、各组原始变量被典型变量所解释的方差 X组原始变量被ui解释的方差比例 5、简单相关、复相关和典型相关之间的关系 若p＝1且q＝1，则x和y的典型相关就是简单相关； 若p＝1或q＝1，则x和y的典型相关就是复相关； 四、样本典型相关系数 在实际应用中，总体的协方差矩阵常常是未知的，类似于其他的统计分析方法，需要从总体中抽出一个样本，根据样本对总体的协方差或相关系数矩阵进行估计，然后利用估计得到的协方差或相关系数矩阵进行分析。由于估计中抽样误差的存在，所以估计以后还需要进行有关的假设检验。 1、假设有X组和Y组变量，样本容量为n。观测值矩阵为： 2、计算特征根和特征向量 求M1和 M2的特征根 ，对应的特征向量 。则特征向量构成典型变量的系数，特征根为典型变量相关系数的平方。 五、典型相关系数的检验 　　典型相关分析是否恰当，应该取决于两组原变量之间是否相关，如果两组变量之间毫无相关性而言，则不应该作典型相关分析。用样本来估计总体的典型相关系数是否有误，需要进行检验。 由于 所以若M的特征根为? ，则(l-M)的特征根为(1-?)。根据矩阵行列式与特征根的关系，可得： 在原假设为真的情况下，检验的统计量