数值分析-new1.ppt

例4 计算 ，视已知数为精确值，用4位浮点 数计算. 解 原式=0.1318×10-2-0.1316×10-2=0.2×10-5 . 结果只剩一位有效数字，有效数字大量损失， 造成相对误差的扩大.若通分后再计算： 原式= 就得到4位有效数字的结果. 结束 ?26? 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差. 舍入误差 一个数 与它经过“舍入”或“切断”产生的近似数 之间 的误差称为舍入误差. 由“舍入”产生的计算机上的十进制浮点数 的舍入误差 记实数 的浮点数表示为 若 ，则 取为零； 根据有效数字的定义可知 有 有效数字. 例1：“四舍五入”的绝对误差限 设x* = ?0.a1a2? anan+1??10m， —— 十进制标准表示式（a1? 0）。 四舍五入： 此时，总有 §4 函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/ 问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？ 分析：e (y) = f (x*) ? f (x) e (x) = x* ? x Mean Value Theorem = f ?(? )(x* ? x) x* 与 x 非常接近时，可认为 f ?(? ) ? f ?(x*) ，则有： |e (y)| ? | f ?(x*)|·|e(x)| 即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ?(x*)|倍。故称| f ?(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */. 相对误差条件数 /* relative condition number*/ f 的条件数在某一点是小\大，则称 f 在该点是好条件的 /* well-conditioned */ \坏条件的 /* ill-conditioned */。 Mean Value Theorem 例1 : 计算 y = ln x。若 x ? 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ? 解：设截取 n 位有效数字后得 x* ? x，则 估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系 不知道怎么办啊？ x 可能是20.#，也可能是19.#，取最坏情况，即a1 = 1。 ? n ? 4 例2:计算 ，取 4 位有效，即 , 则相对误差 数值运算时误差的传播 当参与运算的数值带有误差时，结果也必然带有误差， 问题是结果的误差与原始误差相比是否扩大. 设计算法时应注意的原则 1)对函数 f(x)的计算:设 x 是x *的近似值，则结果误差 用泰勒展式分析 结束 ?27? 忽略第二项高阶无穷小之后，可得函数f(x)的误差限估计式 结束 ?28? 2)对多元函数 f(x1*,x2*,…,xn*)=A*, 设 x1,x2,…,xn 是 x1*,x2*,…,xn* 的近似值，则A=f(x1,x2,…,xn) 是结果的近似值。 其中 结束 略去高阶项后 ?29? 3）四则运算中误差的传播 按（1.10）易得: 其中(1.11)取等号,是因为作为多元函数,加减法的一次函数， 泰勒展开没有二次余项。 结束 ?30? 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过 程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称 此算法为不稳定的. 定义 §5算法的数值稳定性 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 例7：若电压V=220± 5V，电阻R=300± 10? ，求电流I并计 算其误差限及相对误差限。 解： 所以 结束 ?31? 结束 1.3.2 算法中应避免的问题 1）避免相近数相减 由公式(1.11) ?32? 当 x1 和 x2 十分相近时， x1-x2接近零， 将很大，所以 和 从直观上看，相近数相减会造成有效数位的减少， 本章例6就是一个例子.有时，通过改变算法可以避 免相近数相减. 大很多，即相对误差将显著扩大. 将比 结束 ?33? 结束 例8: 解方程 x 2-18 x +1=0，假定用4位浮点计算. 解: 用公式解法 可见第二个根只有两位有效数字,精度较差