数值分析1.2.ppt

1.2 误差 用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述 数学模型的准确解与实际问题的真解不同 在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差. 数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的. 由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差. 根据实际情况可以得到误差上下界. 数值方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方法与之适应. 精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差. 例如, 函数f(x)用泰勒(Taylor)多项式 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算. 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理. 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差. 第一章 总结 1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差 1.2.3 函数求值的误差估计 1.2.2 误差与有效数字 1.2.1 误差的来源与分类 1.2 误差 /* Error */ 学习目标 掌握误差和有效数字、以及 算法的数值稳定性等概念；重点 是有效数字与相对误差的关系。 1.2.1 误差的来源与分类/* Source Classification */ 误差在我们的日常生活中无处不在，无处不有，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是23.4度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似值。又如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 Truncation Error） 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 实际问题的真解 数学模型的真解 为减化模型忽略次要因素 定理在特定条件下建立 与实际条件有别 (1). 模型误差 (2). 观测误差 数值运算的一个特点是： 参与运算的数必须是有限位的，而且位数往往是预先规定的（如在计算机高级语言中，单精度实数为6~7位有效数字）。如果运算的数是无限位的或超过规定，那么要用“四舍五入”规则或“截断”规则，将它们处理成规定的位数。 所谓“截断”规则就是：将超过规定位数的部分无条件地去掉。这样 ?取4 位小数，就为3.1415。 (3). 截断误差 （?介于0与x之间） 近似代替，则数值方法的截断误差是 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差. 例如，对函数 当 |x| 较小时，我们若用前三项作为sinx的近似值，则截断误差的绝对值不超过 . 有的计算机是采用“截断”规则的, 但大多数计算机是采用“四舍五入”规则处理舍弃位数的。 (4). 舍入误差 “四舍五入”规则:四舍六入五成双 所谓“四舍五入”规则就是：将超过规定位数的部分按下列原则去掉： (1)如果舍弃的部分小于保留数的最后一位的单位的1/2，那么保留的数不变。 例如?=3.1415926… ，如果取两位小数，那么保留数的最后一位单位是10-2 ，舍弃部分是0.15926?10-2 ，小于0.5 ?10-2 ，因此取为3.14; (2)如果舍弃的部分大于所保留数的最后一位单位的1/2，那么将保留数最后一位数字加1。 例如限制?取4位小数，最后一位单位为10-4，但去掉的部分是0.926 ?10-4，大于0.5 ?10-4 ，因此取成3.1416; (3)如果舍弃的部分恰等于所保留数的最后一位单位的1/2，此时如果保留的数最后一位是奇数，那么加1成偶数；如果保留的数最后一位是偶数，则就不动了。 例如：取2位小数，0.675成0.68，而0.605成0.60。 上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析. 1.2.2 误差与有效数字 (Error and Significant Digits) 　　定义 1.1 设 是某实数的精确值， 是它的一个近似值，则称 为近似值