数值分析2-1.ppt

迭代法 由极限存在准则得 即 * 迭代法 同解方程组: x =Bx+f 迭代格式: x(k+1) = B x(k) + f 初始解x(0) 线性方程组 Ax = b 解向量序列{x(k)} B ——迭代矩阵 {x(k)} ——迭代序列 * 迭代法 成立，其中x*为一确定的向量，它不依赖于x(0)的选取，则称迭代法是收敛的，否则称迭代法发散。 1.构造迭代格式 3.求出迭代序列 迭代解法基本步骤: 2.代入初始向量 定义2.7 如果对任意的初始向量x(0)及 f，迭代法得到的向量序列{x (k)} 都有 * 迭代法 雅可比(Jacobi)迭代法 对于线性方程组 Ax = b 设aii≠0, * 迭代法 雅可比迭代法 (i = 1,2,…n; k=1,2,……) * 迭代法 迭代格式的矩阵表示： * 迭代法 D L U A=D-L-U * 迭代法 Ax=b (D-L-U)x=b x=D-1(L+U)x+D-1b Dx= (L+U)x+b 迭代格式： J f * 迭代法 解 例2.5 用雅可比迭代法解方程组 * k x1(k) x2(k) x3(k) 0 0 0 0 1 0.3000 1.5000 2.0000 2 0.8000 1.7600 2.6600 3 0.9180 1.9260 2.8640 4 0.9716 1.9700 2.9540 5 0.9894 1.9897 2.9823 6 0.9963 1.9961 2.9938 7 0.9986 1.9986 2.9977 8 0.9995 1.9995 2.9992 9 0.9998 1.9998 2.9997 10 0.9999 1.9999 2.9999 11 1.0000 2.0000 3.0000 迭代法 * 迭代法 A=[10 -2 -1;-2 10 -1;-1 -2 5]; b=[3;15;10];x=[0;0;0]; er=1;k=0; while er0.0001 er=0;k=k+1; for i=1:3 t=x(i);x(i)=0; s=A(i,:) *x; x(i)=t; y(i)=(b(i)-s)/A(i,i); er=max(abs(x(i)-y(i)),er); end x=y end 1.0000 2.0000 3.0000 k = 11 % 为评估最大的误差 % 右端第i项不计累加 * 高斯－赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 雅可比迭代格式： 迭代法 * 迭代法 高斯－赛德尔迭代法 J-迭代法需要2组单元分别存放x (k)和x(k+1)，而 G-S迭代法只需1组单元。 * 迭代法 (D-L) x(k+1)=Ux(k)+b G f 其矩阵形式： x(k+1)=D-1(b+Lx(k+1)+Ux(k) ) Dx(k+1)= Lx(k+1)+Ux(k)+b * 迭代法 例2.6 用G-S迭代法解方程组 解 * 迭代法 k x1(k) x2(k) x3(k) 0 0 0 0 1 0.3000 1.5600 2.6840 2 0.8804 1.9445 2.9539 3 0.9843 1.9923 2.9938 4 0.9978 1.9989 2.9991 5 0.9997 1.9999 2.9999 6 1.0000 2.0000 3.0000 7 1.0000 2.0000 3.0000 * 迭代法 A=[10 –2 –1;-2 10 –1;-1 –2 5]; b=[3;15;10];x=[0;0;0]; er=1;k=0; while er0.0001 er=0;k=k+1; for i=1:3 t=x(i);x(i)=0; s=A(i,:) *x; x(i)=(b(i)-s)/A(i,i); er=max(abs(x(i)-t),er); end x end 1.0000 2.0000 3.0000 k = 7 * 迭代法 超松弛(SOR)迭代法 SOR迭代法是G-S迭代法的一种修正，其基本思想： 设已知x (k)及已计算x (k+1)的分量xj (k+1) ( j=1, 2, …, i-1) (1) 首先用G-S迭代法定义辅助量 (2) 再由xi (k) 与 加权平均定义xi (k+1)，即 * 迭代法 即 ω称为松弛因子，当ω1时为低松弛， ω=1时为G-S迭代， ω1时称为超松弛法（SOR）。 写成矩阵形式 x(k+1)=(1- ω)x(k) +ωD-1(b+Lx(k+1)+Ux(k)