数值分析2.2.ppt

第二章 插值与拟合 第二章 插值与拟合 2.2 分段低次插值 2.2.3 分段三次Hermite插值 2.2.2 分段线性插值 2.2.1 多项式插值的问题 2.2 分段低次插值 学习目标： 掌握分段低次插值的意义及方法。 　　用插值多项式近似被插函数时，并不是插值多项式的次数越多越好。下面是说明这种现象的一个典型例子。 当n=10时，10次插值多项式 以及函数 的图形如图2-1。由 此可见， 在区间[-5，5]的两端 的截断误差 取等距插值节点 构造n次Lagrange 插值 例2.7 给定函数 2.2.1 多项式插值的问题 非常大。例如， 而 。这种现象称Runge 现象。 不管n取多大，Runge 现象依然存在。 y x -5 5 0 实线 虚线 图2-1 1 因此，对函数作插值多项式时，必须小心处理，不能认为插值节点取得越多，插值余项就越小。此外，当节点增多时，舍入误差的影响不能低估。为了克服高次插值的不足，采用分段插值理论将是理论和实际应用的一个良好的插值方法。 分段线性插值就是通过相邻两个插值点作线性插值来构成的。设已知节点 2.2.2 分段线性插值 上的插值函数值 记 若函数 满足条件： （3）在每个小区间 上， 是线性多项式。 则称 为分段线性插值函数。 分段线性插值函数 的几何意义是通过n+1个点 的折线.在每个小区间 上, 的表示式为 (2.2.1) 上, 的表示式为 (2.2.2) 若用插值基函数表示,则在整个区间 插值基函数 的形式为 (2.2.3) 定理2.3 　如果 记 则对任意 分段线性 插值函数 有余项估计 （2.2.4） 其中,当 时,没有第一式,当 时,没有第二式.显然, 分段线性插值基函数 只在 的附近不为零,在其他地方 　　分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的余项来估计. 均为零,这种性质称为局部非零性. 证明 根据（2.1.10），在每个小区间 上有 因此，在整个区间 上有 该定理也说明分段线性插值函数 具有一致收敛性。 例2.8 对平方根表作线性插值，已知 　，步长 。试给出按插值方法求出的 的误差界，并估计有效数字的位数，假定表上给出的函数值足够精确。 （1）当 时， 分两段讨论 。 解 令 则由（2.2.4）知 截断误差 由于 故 可以具有3位有效数字。 由于 ， 故 可以具有6位有效数字。 （2）当 时， 2.2.3 分段三次Hermite插值 　　分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光滑的，它在节点处的左右导数不相等。为了克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数的插值条件。 设已给节点 上的函数值和导数值 记 如果函数 　满足条件： (3)在每个小区间 　　上， 　是三次多项式。 则称 　为分段三次Hermite插值函数。 　显然，在每个小区间 　　上， 　的表示式为（2.1.38）。可以直接用它进行数值计算。 　　若用插值基函数表示，则在整个区间 上， 的表示式为 插值基函数 　和 　的形式分别为 (2.2.5)