数值分析3-1.doc

§3.3 矩阵的直接三角分解法 一、矩阵的三角分解 矩阵的分解 由前面知： 若矩阵满足的顺序主子式均不为零或者对称正定或者严格对角占优，那么= 这里—单位下三角矩阵，—上三角矩阵.从而 （顺序主元法） 若=，则 （列主元法） 若=，则 （完全主元法） 矩阵的一些三角分解 （1）分解： = 其中，-单位下三角阵，-单位上三角阵，-对角阵. 可以证明：矩阵有唯一的分解 （2） 分解： =（-单位上三角阵 ）分解： =（-上三角阵 ） 1 如果是三对角的或对称正定的，周围三角分解的过程和形式会更加简单. 二、三对角方程组的追赶法 在样条函数的计算，微分方程的数值求解中，常遇到如下形式的方程组： （3.3.1） 记成 （是三对角阵）满足高斯消去的可行条件，可以用高斯消去法或分解法，将进行分解.但这时可以考虑用=得到诸元数的关系，再回代求出方程组的解. 由矩阵的乘法可得： 注意：计算的顺序是：.方程组可按下面方式求解： 追赶过程分为两个过程： 追过程： —逐步增大 追过程：——逐步减少 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L和U. 解：设，=，=，= 因===2，====-1，由追赶法得 ==-1，=2，==，=-=2-=，=== =-=2-= 即 =，= 由=== 由=== 在中没有现成的命令可以调用，要完成计算需要自己编程（当然，我们也可以利用高斯消去法求解）.这里我们只介绍三条对角线上元数分别相等时，利用函数计算. 中表示生成元数全为1的矩阵，（m,n）n列m行元数全为1的矩阵. 如：（3,1），当生成一个向量时，命令diag(ones(3,1))形成一个对角阵 如：diag(ones(3,1))=1 0 0 0 1 0 0 0 1 diag(ones(3,1)，-1)将形成如下对角阵 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 diag(ones(3,1)，1)将形成如下对角阵 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 对比较特殊的三对角阵，如 利用命令可以将表示成 =diag(3*ones(4,1))+diag(ones(3,1),-1)+diag(-1*ones(3,1),1) 这种输入方法，对阶数较大的矩阵是很有用的.求解可以调用高斯消去法程序. 用追赶法计算三对角线性方程组，当对角占优时，有唯一解，且解是稳定的.其总计算量是次运算量，存储空间只需4个一维数组. 三、对称正定阵的分解法 矩阵的分解 定理：如果的所有顺序主子式阵都是非奇异的，则存在唯一的单位下三角阵和唯一的对 角阵使 = 证明：当所有顺序主子式阵都是非奇异时，存在的分解，即 = 这里，-单位下三角阵，-上三角阵.设 =，取，因非奇异，故. 且是单位上三角阵，从而是单位下三角阵. 另一方面，===. 注意：（1）如果得到的分解，可以通过次浮点运算得到的解.其中向前消去：，向后迭代： （2）当为实对称阵且满足上述条件时，可以得到的分解. 定理：设=是非奇异实对称阵的分解，则. 基于这种分解的算法工作量仅为高斯消去法的一半.当然，要使=，算法能够顺利进行，应进行选主元，即分解的形式为： =或= 其中，是能使的排列