数值分析312.ppt

* 令 Ux=y 得 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU . 于是 Ax=b ? LUx=b 定理2.1 下面介绍矩阵三角分解的Doolittle分解方法, 则得 对k=2,3,…,n,计算 设 akj=lk1u1j+lk2u2j+…+lkk-1uk-1j+ukj aik=li1u1k+li2u2k+…+likukk 对k=2,3,…,n,计算 由 可得 这就是求解方程组Ax=b的Doolittle三角分解方法。 利用三角分解方法解线性方程组 解 因为 所以 例3 先解 ,得 再解 ,得 解线性方程组Ax=b的Doolittle三角分解法的计算量约为1/3n3,与Gauss消去法基本相同.其优点在于求一系列同系数的线性方程组Ax=bk ,(k=1,2,…,m)时,可大大节省运算量. 例如,求上例中矩阵A的逆矩阵.可分别取常向量 b1=(1,0,0)T, b2=(0,1,0)T, b3=(0,0,1)T 由 所以 为了提高数值稳定性, 可考虑列主元三角分解法, 设已完成A=LU的k-1步分解计算, 矩阵分解成 设 令 rk?ri 相当于取 为第k步分解的主元素. 但要注意方程组的常数项也要相应变换. 例如,用列主元三角分解解例3中方程组.则有 设A为对称正定矩阵, 则有唯一分解A=LU, 且ukk0. 则有 A=LDM 又因为 (LDM)T=MTDLT=LDM 所以 M=LT =LDLT 则有 §2.3 平 方 根 法 分解A=GGT称为对称正定矩阵的Cholesky分解. Ax=b 转换为 Gy=b , GTx=y 若记G=(gij), 则有: 对k=1,2,…,n 实际计算时,可采用紧凑格式 ______平方根法. 解三角方程 Gy=b , GTx=y 可得 解 例4 解线性方程组 平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法,对称正定矩阵的Cholesky分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵的LU分解的一半. 且Cholesky分解具有数值稳定性. 追赶法是求三对角线性方程组的三角分解法.即方程 三对角矩阵A的各阶顺序主子式都不为零的一个充分条件是: |a1||c1|0 ; |an||dn|0 ; |ai|?|ci|+|di| , cidi? 0 ,i=2,3,…,n-1. 在此条件下, A=LDM=TM , 称之为矩阵A的Crout分解. 对三对角矩阵A进行Crout分解,有 §2.4 追 赶 法 其中 解三角方程 Ty=b , Mx=y 可得 称之为解三对角方程组的追赶法. 解 例5 解线性方程组 当满足条件 |a1||c1|0 ; |an||dn|0 ; |ai|?|ci|+|di| , cidi? 0 ,i=2,3,…,n-1. 时, 追赶法是数值稳定的, 追赶法具有计算程序简单, 存贮 量少,计算量小的优点. §3 向量和矩阵的范数 §3.1 向量的范数 定义2.1 设‖?‖是向量空间Rn上的实值函数, 且满足条件: (1)非负性: 对任何向量x?Rn ,‖x‖?0 ,且‖x‖=0当 且仅当x=0 (2)齐次性: 对任何向量x ?Rn 和实数? , ‖?x‖=|? |‖x‖ (3)三角不等式: 对任何向量x ,y?Rn