数值分析4-1.doc

二、差商、差分及插值多项式 插值多项式作为一种计算方案有它自身的一些缺点，如要确定在某一点处的近似值，预先不知道要选择多少个插值节点为宜.通常的办法是依次算出，，…，直到（根据估计）求出足够精确的的近似值为止，其中为在插值节点的次插值多项式；即使在计算的过程中，每步都需从头开始计算.我们设想给出一个构造的方法，它只需对作一个简单的修正即可. 考虑-，显然是一个次数不高于的多项式，且对有 -=-=0 即有个零点.因此，存在一个常数使得 或等价于 =+ 如果常数可以确定，则可以从来求出. 下面确定常数.在的表达式中令得： =+ == =-（ ） 差商及插值多项式 按照上式计算仍然比较麻烦，为此，引进差商的概念. 定义：已知函数在个互异节点处的函数值为， （1）称 为关于节点的一阶差商，简称一阶差商（或均差），记作，即 = （2）称一阶差商，的差商，为关于节点的二阶差商，记作，即 = （3）称阶差商的差商为关于节点的阶差商，记为即 约定为关于节点的零阶差商，并记为. 注意： 由差商的定义可知，若给定在个互异节点上的函数值，则可求出直至阶的各阶差商.如给定函数表： 则各阶差商可列于下表： 0 1 2 3 利用差商表计算各阶差商是很方便的，且，，，处于表的第一条横线上. 差商有下面重要性质： 性质1：阶差商是由函数值的线性组合而成，即 = 此性质表明，在上面我们要确定的常数就是阶差商，即=，利用这一性质，我们可以将插值多项式表示成： =+++…+ 上式右端称为次插值多项式，记为，即 =+++…+ 给定数据 30 45 60 求二次插值多项式. 解：先求差商表 0 1 2 30 = = = 45 = = 60 = 所以，二次插值多项式为： =++ 值得注意的是：插值多项式在节点处也满足插值条件，因而由插值多项式的唯一性可知：=，只是插值多项式便于计算罢了. 性质2：差商具有对称性，即在阶差商中任意调换两个节点的顺序，其值不变. 这一性质说明：如果已由插值节点求得次插值多项式，现增加一个节点，则只需在差商表的最后加上，依次计算各阶差商即可.其过程如下： 0 1 2 3 差分的概念 上面讨论的是节点任意分布的插值多项式，但在实际应用中经常碰到等距节点问题，即节 点为： ， 这里称为步长，此时插值公式可以进一步简化，同时可以避免除法运算.为此，引进差分的概念. 定义：设已知函数在等距节点（）上的函数值为，称 为函数在节点处以步长为的一阶向前差分，简称一阶差分，记作，即 = 类似地，称 =- 为在节点处以步长为的阶向前差分，简称阶差分. 和差商的计算一样，差分也可以构造差分表计算： 并且可以证明，差商与差分之间有如下关系： = 给定数据 30 45 60 求二次插值多项式. 解：记=15，=30，=45，=60，=30+15.先求差分表 30 45 60 所以 =++ §4.3 分段低次插值 龙格现象和分段线性插值 龙格现象 前面我们讨论了多项式插值，并给出了相应的余项估计式.从中可以看出：余项的大小既与插值节点的个数有关，也与的高阶导数有关.以插值为例，如果在区间上存在任意阶导数，且存在与无关的常数使得 那么我们有余项估计式 从中可以看出，插值