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一、直接三角分解法 第五章 解线性方程组的直接法 §4 三角分解法 二、平方根法 三、追赶法 一、直接三角分解法 2. 定义 直接从矩阵A的元素得到计算L、U元素的递推公式，而不需任何中间步骤，这就是所谓直接三角分解法。 1.进行矩阵三角分解的意义 若A 实现了LU分解，则 Ax = b (LU)x=b Ly = b Ux = y 3. 矩阵的三角分解法举例 解方程组 解： 系数矩阵为 则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组： 解得 解得 思考:能否不通过高斯消去法而直接获得系数矩阵的三角分解呢？即 单位下三角阵 上三角阵 解： 令 由矩阵相等的定义得 1 矩阵的这种分解称为Doolittle分解 3. 不选主元的三角分解法 L，U的元素可以直接计算定出，其中 （具体公式详见书） 二、平方根法 1. 初步介绍 平方根法适用于系数矩阵为对称正定阵的方 程组的求解。其利用对称正定矩阵的三角分 解而得到求解对称正定方程组的一种有效方 法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此 类方程组。 2. 基本原理 定理1 (对称阵的三角分解定理) 设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均 不为零，则A可唯一分解为 A=LDLT 其中L为单位下三角阵，D为对角阵. 证明： 由于A所有的顺序主子式不为零，则A有唯一的LU分解。 将U再分解为 其中D为对角阵，U0为单位上三角阵，于是 又 由分解的唯一性得 即 定理2 (对称正定阵的三角分解定理) 设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均 大于零，则存在一个非奇异下三角阵 L 使 A=LLT，当限定L的对角元素为正时，这种 分解是唯一的。 矩阵的这种分解称为Cholesky分解 证明： 由原理1可知A可分解为 则 由于对于任意非零向量x， y=(LT)-1x也为非零向量，于是 由A的正定性 即D正定，所以D的对角元素均为正数， 令 则 3. 实际计算 利用矩阵相等的定义，通过比较可计算出分解式中的系数。设 比较A与LLT的相应元素，可得计算公式。 三、追赶法 1. 初步介绍 追赶法适用于系数矩阵为三对角阵的方程组 的求解。其利用系数矩阵的特点，可以将A 分解为两个三角阵的乘积，A=LU，其中L为 下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。