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第九章 常微分方程数值解法 §1 引言 一、有关常微分方程 二、数值解法 三、数值解法的三种类型 一、有关常微分方程 1. 什么是常微分方程的初值问题？ 理论上可以证明：只要函数f(x，y)适当光滑—关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件 常微分方程 初值问题 则初值问题的解存在唯一。 例 思考：常微分方程中的未知数是什么？ 2.常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程(可分离变量方程，一阶线性方程等等)，有可能找出它们的一般解表达式，然后用初始条件确定表达式中的任意常数，这样解即能确定。 例如 求解 解：分离变量得 dy=2xdx 积分得y=x2+c 由初值得c=0 故解为y=x2 注：生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解 二、常微分方程的数值解 由于在实用上对初值问题，一般是要求得到解在若干点上满足规定精确度的近似值yi，或者是得到一个满足精确度要求的便于计算的近似表达式。 故常微分方程的数值解就是求出在若干点上解的近似值。 定义：常微分方程初值问题的数值解 一般是指在由初始点x0开始的若干离散的x值处，即对x0x1x2…xn，求出准确值y(x1),y(x2),…，y(xn)的近似值y1，y2，…，yn 本章只讨论x0, x1,…,xn等距的情况，设 xi+1-xi = h, i = 0, 1, …, n-1 上式中的h值称为步长 . 对于常微分初值问题 一般解 y = y(x) 数值解 y0 y1 y2 … yn … y x0 x1 x2 … xn … x 注：本章使用的符号 y(xi)：一般解y=y(x)在x=xi 处的精确值. yi：一般解y=y(x)在x=xi处 的近似值. 三、数值解法的三种类型 1.用差商代替导数 由导数定义 故若h的值较小，则有 代入y’= f (x,y)可得 即 y(x+h)≈y(x)+hf(x,y) 故原初值问题可离散化为 于是由初始值y(x0)=y0出发，可依次地计算出 y1=y0+hf(x0,y0) y2=y1+hf(x0+h,y1) …… yn=yn-1+hf(x0+(n-1)h,yn-1) …… 2.使用泰勒公式 在微分方程y’=f(x,y)中，y’是x及y(x)的函数.由于精确值y(x+h)在h=0处的泰勒展式为 根据y’=f(x,y)，得公式 若取泰勒展式的前两项，则有 y(x+h)?y(x)+hy’(x) 又因为y’=f(x,y)，故 故若取泰勒展式的前三项，则可得公式 与上类似，一般可取公式为如下形式 注：应用泰勒公式求数值解，从形式上看简单，其实具体构造这种公式往往是相当困难的，因为它需要提供导数值，y(j)n当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此泰勒公式通常不直接使用，但可以用它来启发思路。