数值分析课件CH2_赖志柱201303.ppt

数值分析 毕节学院数学与计算机科学学院 赖志柱 laizhizhu80@163.com 2013年03月 第二章 插值法 2.1 引言 2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 2.3 均差与牛顿插值多项式 2.4 Runge现象与插值多项式的收敛性 2.5 Hermite插值 2.6 分段插值 2.7 反插值 2.1 引言 2.1.1 插值问题的提出 2.1.2 多项式插值 2.1.3 插值问题的一般提法 2.1.1 插值问题的提出 插值法是一个古老而实用的数值方法，它来自生产实践。 我国隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘焯（公元6世纪）将等距二次插值应用于天文计算。 17世纪，牛顿(Newton)和格雷哥里(Gregory)建立了等距节点上的一般插值公式。 18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。 近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上都得到了进一步的发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条函数(spline)插值，更获得了广泛应用，成为计算机图形学的基础。 实际问题中遇到的函数f(x)是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。 例如，给定了函数 在 中互异的 个点 的值 ，或者给出了函数的一个表，我们的任务是根据这个表，寻求一个函数 来逼近 。 对插值问题的思考 第一步是根据实际问题选择恰当的函数类 ； 第二步是具体构造 的表达式。 当然还得考虑插值问题是否可解，如果有解，解是否唯一； 插值函数 逼近于 的误差如何估计，即截断误差的估计 ； 进一步，当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 ，即插值收敛问题。 2.1.2 多项式插值 求插值函数 的方法称为插值法，插值点在插值区间内的叫内插值，否则称为外插值。 若 为分段的多项式，就称为分段插值。 若 为三角多项式，就称为三角插值。 若 为有理分式(函数)，就称为有理插值。 设 或 表示次数 的实系数多项式全体。 定理2.1 满足插值条件（2.1）的 次代数插值问题的解是存在且唯一的。 提示：采用待定系数法和Vandermonde行列式直接证明。 2.1.3 插值问题的一般提法 2.2 拉格朗日(Lagrange)插值 2.2.1 Lagrange插值多项式 2.2.2 插值余项及估计 2.2.3 线性插值和抛物线插值 2.2.4 截断误差的事后估计法 2.2.1 Lagrange插值多项式 我们称（2.7）式所表示的多项式 为 次Lagrange插值多项式（或插值多项式的Lagrange形式），有时也称（2.7）式为 次Lagrange插值公式。 一般情况下， 次Lagrange插值多项式是次数为 的多项式，特殊情况下其次数也可能小于 。 2.2.2 插值余项及估计 2.2.3 线性插值和抛物线插值 2.2.4 截断误差的事后估计法 2.3 均差与牛顿插值多项式 2.3.1 插值多项式的逐次生成 2.3.2 均差及其性质 2.3.3 Newton插值多项式 2.3.4 差分形式的牛顿插值公式 2.3.1 插值多项式的逐次生成 拉格朗日插值多项式结构简单紧凑，在理论分析中比较方便，在数值积分和常微分方程数值方法中经常使用，但当实际应用中增加或减少插值节点时，构造插值多项式的基函数需要重新构造。 拉格朗日插值零次式为 拉格朗日插值一次式为 上式可看成是零次式的修正，即 考察有三个互异节点的二次插值 ，它满足插值条件 将 表示为 显然它满足 上式中，令 ，得 2.3.2 均差及其性质 定义2.2 设函数 在 个互异点 处的函数值 ，称 为函数 在 上的零阶均差(差商)，称 为 在 上的一阶均差(差商)，称 为 在 上的二阶均差(差商)。一般地，称