特征函数在极限理论中的应用.doc

集合列的特征函数 1.1集合E的特征函数定义：对于X中的子集E，作 = 称：是定义在X上的集合E的特征函数。 由定义知，特征函数在一定意义上作为集合E的代表。 借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。 1.2定理：对任意的集合列，有 (=， (=， (集列收敛的充要条件是它的特征函数列收敛，且 = 定理说明了集列取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集列收敛性与数列收敛性等价。 证明：由特征函数的定义，=1或0， ，设=1有无限个，使得=1， 有无限个，使得， ， =1 （*1） ，设=0有无限个，使得=0 有无限个，使得， ， =0 （*2） 由（1）（2）式，得证。 2迭代数列收敛性与特征函数 2.1.定义：设=在区间I上有定义，数列满足迭代关系： =（n=1,2，……） （*3） 若存在自然数N，使得当nN时恒有I成立，则称F（x）和f（x）分别为迭代数列（*3）在区间I上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I上的生成迭代数列。 引理：设f（x）是在区间I上有定义的单调函数，是I的内点。若存在，则f（x）在处连续。 证明： 不妨设=A，f（x）在区间I上单调增加。 故当x时，，则A=， 当时，,则A=。 因此=A=， 故在处连续。 定理1：设=x-是迭代数列（*3）在区间I上连续的特征函数，且在I上单调增加。则 (若I=[a,b且F（a）=0，则存在且等于a， (若I=a,b]且F（b）=0，则存在且等于b。 注：约定区间[a,b , a,b]或a,b中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-或+；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。 证明：（i）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n， 迭代数列（*3）恒有I=[a,b, 则有下界。 再用反证法证明在I上单调减少： 若存在自然数使得 即, 则=-0. 因为=0，所以。 这与在I上的单调增加矛盾。 故数列在I上单调减少有下界，即存在。 在迭代数列（*3）中令，可得x=。 由题设可得=x-=0在I上有唯一实根， 于是由=a-=0得x=a， 故=a。 （ii）类似地可以证明数列在I=a,b]上单调增加有上界，且=b。 定理2：设=x-是迭代数列（*3）在区间I=a,b上的特征函数，和在I上单调增加且存在I的内点使得=0，则存在且等于 证明：不妨设对一切自然数n，迭代数列（*3）恒有， 记=a,],=[,b. 由题设及引理得在和上均单调增加且连续。 若对有=，则由在I上单调增加有 ==， 一般地由数学归纳法易证=（n=1,2，……）； 若对有=，类似地可以证明 （n=1,2，……）。 所以是迭代数列（*3）在或上的特征函数。 故由定理1，存在且等于。 利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用到迭代数列的求解中，简化极限运算。 这种方法解题的一般步奏是： （1）求出函数=x-的单增区间（或和公共的单增区间）； （2）求出方程=0在单增区间的根； （3）判断是迭代函数列（1）在单增区间上的特征函数； （4）判断极限存在并得出极限。 例1：设0 ,=(n=1,2,……；0c1)，证明存在且等于0。 证明：令=x-， 则’=1-0（x0）且=0. 当0时，恒有=0（n=1,2，……）， 故为迭代数列在单增区间[0,+)上连续的特征函数。 于是由定理1可得存在且等于0. 例2：设数列满足迭代关系=（n=1,2，……；a0），证明存在并求此极限。 证明：由数学归纳法和均值定理可知， 当时有（n=2,3，……）； 当时有（n=2,3，……）。 所以是分别在区间和上连续的特征函数。 由F’=得在和上单调增加。 又因为解