用充要条件的等价转化来解题.ppt

【例1】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B; (4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0， q：(x-1)(y-2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条 件的定义进行判断. 思维启迪 解 （1）在△ABC中，∠A=∠B sin A=sin B，反 之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p, 但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有 x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件. 探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分 析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观 化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性，转化为判断它的等价命题. 知能迁移2 （2009·安徽理，4）下列选项中,p是 q的必要不充分条件的是 （ ） A.p:a+cb+d,q:ab且cd B.p:a1,b1,q:f(x)=ax-b(a0,且a≠1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1，q:x2=x D.p:a1,q:f(x)=logax(a0,且a≠1)在（0,+∞）上 为增函数 解析 由于ab,cd a+cb+d，而a+cb+d却不一定 推出ab,cd.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当 a1,b1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax- b不过第二象限时，有a1,b≥1.故B中p是q的充分不 必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有 x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条 件. 答案 A 一、选择题 1.（2009·重庆文，2）命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 （ ） A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数， 则它是负数. B 定时检测 2.（2009·浙江理，2）已知a,b是实数，则“a0且 b0”是“a+b0且ab0”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a0且b0时，一定有a+b0且ab0.反之， 当a+b0且ab0时，一定有a0,b0.故“a0且b0” 是“a+b0且ab0”的充要条件. C 3.（2008·广东文，8）命题“若函数f(x)=logax (a0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga20”的 逆否命题是 ( ) A.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 B.若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 C.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若loga20,则函数f(x)=logax(a0,a≠1)在其定义 域内是减函数 解析 由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命 题为：若loga2≥0，则函数f（x）=logax(a0,a≠1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A 4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x1,x∈R}, 则“x∈A”是“x∈B”的 （ ） A.充分不必要条件 B