证明充要条件的问题.ppt

充要条件的证明 注意：分清p与q. ①从命题角度看 引申 ㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必要条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的充要条件 ②从集合角度看 命题“若p则q” 引申 题型三 充要条件的证明 【例2】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围. 证明 充分性： 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 方程只有一负根. 2分 当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根. 4分 当a0时,Δ=4(1-a)0，方程有两个不相等的根， 且 0，方程有一正一负根. 6分 必要性： 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时，适合条件. 8分 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根， 则Δ=4-4a≥0，∴a≤1， 当a=1时，方程有一负根x=-1. 10分 若方程有且仅有一负根， 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为 a≤0或a=1. 12分 探究提高 （1）条件已知证明结论成立是充分性. 结论已知推出条件成立是必要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这 就要分清哪是条件，哪是结论. 知能迁移3 求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大 于3的必要条件是|a| 这个条件是其充分条件 吗？为什么？ 证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2, 则平方和大于3的等价条件是 ∴|a| 这个条件是必要条件但不是充分条件. 课堂小结 （3）判别技巧： ① 可先简化命题； ② 否定一个命题只要举出一个反例即可； ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 （1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 p q 和 p q 是否能成立。