趣味杨辉三角,点燃学生数学思维的火花.doc

趣味杨辉三角，点燃学生数学思维的火花 湖南 怀化学院 西区博雅苑 8栋204室 傅世球418008 一 关于杨辉三角的历史 原来的名字也不是“杨辉三角”，其名子是由开方得来的叫“开方作法本源”，如开平方的理论基础是用乘法公式：即 把一个数的平方根分成几位数字来求：先求出平方根的最高位数，再从原来的数减去初商的平方而得出余数，即，如求529的平方根，①二位二位地分段：529平方厘米即为5平方分米又29平方厘米；②求初商：先确定一个面积为4平方分米的边长为2分米的正方形；③求笫一余数：529-；④通过笫二余数求次商：；⑤求两数和： ；⑥求开方结果：。开立方的理论基础是，用类比可得开4次方，开次方的理论基础。 杨辉三角有很多有趣味的性质，决不是单一的开平方，开立方，开四次方，五次方的“开方作法本源”的名字所能概括的。 远在杨辉之前的贾宪就知道这个“三角”的名称，有的称“贾宪三角”，总之是在1200年左右就研究过“贾宪三角”。而在欧洲叫“巴斯加三角”，“杨辉三角”比“巴斯加三角” 至少要早300年。 目前, 中学生补课, 多数是数学与英语. 为什么学数学的人越来越少、越来越难呢? 尤其是排列、组合与二项式定理更是使学生感到困难, 笔者认为根源在数学教师的教学方法与随之而产生的学习数学的兴趣. 二从乘法公式到杨辉三角看归纳、类比、联想的分析 2.1 从乘法公式到杨辉三角 二项式的乘法公式的系数就是杨辉三角中“任何数等于肩上的两个数的和” 这正是二项式的乘法公式的系数规律，杨珲三角的第行就是的二项式系数，即 1 1 1 1 2 1 （ 1 3 3 1 1 4 6 4 1 （ 波利亚说:“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强. 但是这里质量仍然比数量更为重要. 清晰的类比较模糊的相似更有价值,…” “类比就是一种相似.”[1] 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. 这里先产生笫一个有趣的性质：这些数都是“回文数”， 所谓“回文数”， 就是与它的“倒排数” 完全相等的数，即最高位与最低位、中间的对称位置上的数均相等的数是“回文数”。 笫五个、第六个就不是“回文数”：1615201561. 它也不是11的五次方和六次方了。但对于杨辉三角用组合数标出还是具有对称性的，即 两位“回文数” 只有9个：11、22、33、44、55、66、77、88、99. 三位“回文数” 只有90个。“金字塔” 似的“回文数” 有 “金字塔” 似的“回文数” 有很多，“回文数” 有很多有趣、具有神秘性质的猜想，等待年青人去证明，去挖掘。 其次,可采取合情推理方法，得出公式 2.2 组合的笫一个性质 杨辉三角是归纳的结果，归纳是特殊到一般的推理，从杨辉三角可看出系数的对称性， 在杨辉三角中由对称性可发现组合的第一个性质。而由杨辉三角中每一个元素都等于其肩膀上两个数之和，可得组合的第二个性质。为了使学生理解组合的两个性质，可采取合情推理的思维策略, 如何引入组合的性质呢? 至少有两种方法引入, 可激发学生的兴趣：其一是实践引入【2】 (1）从3个人中挑选2人扫地，另一人擦桌椅是 （2）从5个人中挑选3人教学，2人搞后勤有 其二是:从杨辉三角中它们是如何发现的? 杨辉三角中每一个数等于同一列中与它对称的数——得出第一个性质，又得出一系列的类似关系 ， 由此可见，组合的第一个性质可以由杨辉三角中用归纳猜想来发现，它反映了“杨辉三角”的对称性. 它可以这样的多种方法证明，其一是： 这里用到公式的逆向思维。 证法2：（由阶乘的定义证明）可见，也用到公式的逆向思维。在证明过程中，分母的乘法交换律，即成了 证法3：在（二项式展开中，当我们交换a与b的位置时, 其展开式中和的系数一定相同得出 证法4: 当我们从n个个体的集合中取出有r个个体的一个子集合时, 我们剩下另一个有n-r个个体的子集合. 所以一种子集合和另一种子集合一样多(正如3个人a、b、c中, 挑二个人扫地:ab、ac、bc与一个人擦桌椅c、b、a的分法是一样多都是3种方法, 一样多. 2.3 组合的第二个性质 再看组合的笫二个性质又如何从杨辉三角中得来？从杨辉三角的结构可得出组合的第二个性质吗？回答是肯定的，即借助于杨辉三角的直观性得出抽象的公式这也是一种归纳的合情推理。先猜后证是一种数学思想,“猜”不是瞎猜、乱猜, 胡猜，而是要在探索中去猜,要以直觉为先导,以联想为手段,以逻辑为根